Sprzężenie-liczenie granic

Dział prezentujący praktyczne zastosowanie teorii przy rozwiązywaniu zadań.
Regulamin forum
UWAGA! nie jest to dział, w którym zamieszczane są tematy z prośbą o rozwiązanie zadania.
Wszystkie posty w tym dziale muszą zostać zaakceptowane przez moderatora zanim się pojawią.
miodzio1988

Sprzężenie-liczenie granic

Post autor: miodzio1988 » 17 sie 2010, o 20:40

Sprzężenie
Często w liczeniu granic pojawia się sugestia:
Pomnóż przez sprzężenie
Chodzi o skorzystanie z tego wzoru:

\(\displaystyle{ a-b= \frac{a ^{2}-b ^{2} }{a+b}}\)

Przykład 1
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } (\sqrt{ n^{2} +2n-1} -n )=...}\)

\(\displaystyle{ a=\sqrt{ n^{2} +2n-1}}\)

\(\displaystyle{ b=n}\)

\(\displaystyle{ a ^{2} = n^{2} +2n-1}\)

\(\displaystyle{ b ^{2}=n ^{2}}\)

Korzystamy zatem z naszego wzoru

\(\displaystyle{ ...=\lim_{n \to \infty } \frac{ n^{2} +2n-1-n ^{2} }{\sqrt{ n^{2} +2n-1}+n}}\)

I dalej liczymy granicę.

Przykład 2


Liczymy granicę takiego ciągu:

\(\displaystyle{ a_{n}=n^{3}- \sqrt{n^{6}-5n^{3}}}\)

\(\displaystyle{ a=n^{3}}\)

\(\displaystyle{ b=\sqrt{n^{6}-5n^{3}}}\)

\(\displaystyle{ a ^{2} =n^{6}}\)

\(\displaystyle{ b ^{2} = n^{6}-5n^{3}}\)

\(\displaystyle{ \lim_{ n \to \infty } a_{n}= \lim_{ n \to \infty } \frac{n^{6}-(n^{6}-5n^{3}) }{n^{3}+ \sqrt{n^{6}-5n^{3}}} =\lim_{ n \to \infty } \frac{n^{6}- n^{6}+5n^{3} }{n^{3}+ \sqrt{n^{6}-5n^{3}}}=\lim_{ n \to \infty } \frac{ 5n^{3} }{n^{3}+ \sqrt{n^{6}-5n^{3}}}}\)


Liczymy granicę dzieląc licznik i mianownik przez \(\displaystyle{ n ^{3}}\)
Przykład 3
\(\displaystyle{ \lim_{ n \to \infty } \sqrt[3]{n ^{3}+ 5n ^{2} + 6 } -n=...}\)

Wzór:
\(\displaystyle{ (a-b)= \frac{a^{3}-b^{3}}{(a^{2}+ab+b^{2})}}\)
\(\displaystyle{ a=\sqrt[3]{n ^{3}+ 5n ^{2} + 6 }}\)

\(\displaystyle{ b=n}\)

\(\displaystyle{ a ^{3} = n ^{3}+ 5n ^{2} + 6}\)

\(\displaystyle{ b ^{3} =n ^{3}}\)

\(\displaystyle{ a^{2}=\sqrt[3]{(n ^{3}+ 5n ^{2} + 6 ) ^{2} }}\)

\(\displaystyle{ a \cdot b =\sqrt[3]{ n ^{3}+ 5n ^{2} + 6 } \cdot n}\)

\(\displaystyle{ b ^{2} =n ^{2}}\)

\(\displaystyle{ ...= \lim_{ n \to \infty } \frac{ n ^{3}+ 5n ^{2} + 6 -n ^{3} }{\sqrt[3]{(n ^{3}+ 5n ^{2} + 6 ) ^{2} }+ \sqrt[3]{ n ^{3}+ 5n ^{2} + 6 } \cdot n + n ^{2} }=\\ = \lim_{ n \to \infty } \frac{ 5n ^{2} + 6 }{ \sqrt[3]{(n ^{3}+ 5n ^{2} + 6 )(n ^{3}+ 5n ^{2} + 6 ) } +n \cdot \sqrt[3]{n ^{3}( 1+ \frac{5}{n} + \frac{6}{n ^{3} } ) } + n ^{2} }}\)

\(\displaystyle{ \sqrt[3]{n ^{3}( 1+ \frac{5}{n} + \frac{6}{n ^{3} } ) }= n \cdot \sqrt[3]{ ( 1+ \frac{5}{n} + \frac{6}{n ^{3} } ) }}\)

W pierwszym pierwiastku mnożymy to co jest pod pierwiastkiem i robimy to samo co w drugim pierwiastku. Licznik i mianownik dzielimy przez \(\displaystyle{ n ^{2}}\)

Przykład 4


\(\displaystyle{ \lim_{n \to 0} \frac{ \sqrt{n ^{2} +1} -1}{ \sqrt{n ^{2} +25} -5}=\lim_{n \to 0} \frac{ \sqrt{n ^{2} +1} -1}{ \sqrt{n ^{2} +25} -5} \cdot \frac{ \sqrt{n ^{2} +1} +1}{ \sqrt{n ^{2} +1} +1} \cdot \frac{\sqrt{n ^{2} +25} +5}{\sqrt{n ^{2} +25}+5}=\\ \\=\lim_{n \to 0} \frac{ n ^{2} +1 -1 }{ n ^{2} +25 -25} \cdot \frac{ 1 }{ \sqrt{n ^{2} +1} +1} \cdot \frac{\sqrt{n ^{2} +25} +5}{1}=\lim_{n \to 0} \frac{ n ^{2} }{ n ^{2} } \cdot \frac{ \sqrt{n ^{2} +25} +5 }{ \sqrt{n ^{2} +1} +1} =\\= \lim_{n \to 0} \cdot \frac{ \sqrt{n ^{2} +25} +5 }{ \sqrt{n ^{2} +1} +1}= \frac{ \sqrt{0 ^{2} +25} +5 }{ \sqrt{0 ^{2} +1} +1}=...}\)

Zostają proste rachunki

cdn
Wszelkie uwagi proszę kierować na PW
Jeśli chcesz, aby tutaj trafiło jakieś zadanie to też proszę napisać do mnie PW. Jak
wniesie coś nowego do tematu to JA wrzucę je tutaj(edytując ten post )

ODPOWIEDZ