Matematyka.pl

Mam \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \frac{ 4n^{3} +2n^{2} -5n+1}{pn^{3} -6n+5}= \frac{1}{2}}\) mam wyznaczyć p, ale kompletnie nie wiem od czego muszę zacząć

wyciągnij \(\displaystyle{ n^3}\) przed nawias w liczniku i w mianowniku, poźniej skorzystaj z tego że:
\(\displaystyle{ \lim (a_n+b_n)= \lim a_n + \lim b_n}\) i innych podobnych twierdzeń, które znajdziesz tutaj

Wyciągnięte, mam takie coś: \(\displaystyle{ \frac{4+ \frac{2}{ n^{3} }- \frac{5}{ n^{2} } + \frac{1}{ n^{3} } }{p- \frac{6}{ n^{2} } + \frac{5}{ n^{3} } }= \frac{1}{2}}\) no ale jak mam teraz wykorzystać \(\displaystyle{ \lim (a_n+b_n)= \lim a_n + \lim b_n}\) ?

to rozbijamy na poszczególne granice: gdy n dąży do plus nieskończoności to do czego dąży \(\displaystyle{ 4}\), do czego \(\displaystyle{ \frac{2}{n}}\), \(\displaystyle{ -\frac{5}{n^2}}\), a do czego jeszcze \(\displaystyle{ \frac{1}{n^3}}\)?

Dążą do 0, z tego wyjdzie mi \(\displaystyle{ \frac{4+0-0+0}{p-0+0}= \frac{1}{2}}\) , więc p=8. Dzięki, teraz już rozumiem

dokładnie.

Ogólnie, granica ilorazu wielomianów o równych stopniach jest równa ilorazowi współczynników przy najwyższych potęgach \(\displaystyle{ n}\). Warto o tym pamietać, żeby nie bawić się już w żadne dzielenia i wyciągania.

A jak policzyć granicę takiego ciągu? \(\displaystyle{ a_{n}= \sqrt{ n^{2} +7n}- \sqrt{ n^{2} -n}}\) czego użyć?

Przemnożyć przez \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{ n^{2} +7n}+\sqrt{ n^{2} -n}}{\sqrt{ n^{2} +7n}+ \sqrt{ n^{2} -n}}}\), poskracać i wyciągnąć n z najwyższą potęgą.

Domnożyć licznik i mianownik przez podane wyrażenie, tyle że ze znakiem +. Dalej powinieneś sobie poradzić.