Matematyka.pl

Znajdź ekstrema lokalne i asymptoty dla:
\(\displaystyle{ f\left(x \right) =\frac{x}{2}+\frac{2}{x}}\)
Więc wyznaczam dziedzinę:
D:\(\displaystyle{ x \neq 0}\)

Obliczam pochodną:
\(\displaystyle{ f '\left(x \right) =(\frac{1}{2}\cdot x+2 x^{-1})^{'}=(\frac{1}{2}\cdot x^{1-1}-2x^{-2})^{'}=\frac{1}{2}-2x^{-2}=\frac{1}{2}-\frac{2}{x^2}}\)

Podstawiam liczby:
\(\displaystyle{ f\left( -3 \right)=\frac{5}{18}}\)

\(\displaystyle{ f\left( -2 \right)=0}\)

\(\displaystyle{ f\left( -1 \right)=1}\)

\(\displaystyle{ f\left( 1 \right)=\frac{3}{2}}\)

\(\displaystyle{ f\left( 2 \right)=0}\)

\(\displaystyle{ f\left( 3 \right)=\frac{5}{18}}\)

Rysuje wykres(nie wiem jak zrobić to w \(\displaystyle{ \LaTeX}\)-ie)

I tutaj pytania..
1.Jakie jest minimum lokalne:
- Czy to \(\displaystyle{ f(2)\cup f(-2)}\)?
2.Jakie jest ekstremum lokalne i globalne:
- Czy to \(\displaystyle{ f(-1)\cup f(1)}\) ?
3.Jak oblicza się asymptoty i czy w ogóle są?

W celu zbadania istnienia ekstremów lokalnych funkcji, wykorzystaj warunek konieczny i wystarczający istnienia ekstremum.

Warunki istnienia asymptot są po krótce opisane w 80977.htm .

(Nie trzeba szkicować wykresu funkcji, by zbadać istnienie ekstremów funkcji czy asymptot jej wykresu.)

Dzięki za informację, ale jak bym wiedział jak wykorzystać ten warunek to nie szukałbym pomocy, tylko go wykorzystał.

Czyli wychodzi na to, że asymptoty nie istnieją?

To po kolei zbadajmy daną funkcję.

Mamy \(\displaystyle{ f'(x)=0\iff x^2=4\iff (x=-2\vee x=2)}\). Zatem z warunku koniecznego istnienia ekstremum lokalnego funkcji wynika, że ekstremum może być osiągane dla wyznaczonych dwóch argumentów. Ale czy jest tam ono faktycznie osiągane, należy sprawdzić korzystając z warunku wystarczającego.

Mamy \(\displaystyle{ f'(x)<0 \iff (x\in(-2,0)\vee x\in(0,2)), f'(x)>0\iff (x\in(\infty,-2)\vee x\in(2,+\infty))}\). Zatem pochodna funkcji zmienia znak w otoczeniu punktów -2 i 2, a to w myśl wspomnianego warunku daje, że dla każdego z tych dwóch argumentów funkcja \(\displaystyle{ f}\) osiąga ekstremum lokalne. Co więcej, w otoczeniu punktu -2 pochodna zmienia znak z dodatniego na ujemny - \(\displaystyle{ f(-2)=-2}\) jest zatem maksimum lokalnym funkcji \(\displaystyle{ f}\), a w otoczeniu punktu 2 pochodna zmienia znak z ujemnego na dodatni i funkcja \(\displaystyle{ f}\) osiąga minimum lokalne równe \(\displaystyle{ f(2)=2}\).

Teraz asymptoty.
Ponieważ \(\displaystyle{ \lim_{x\to 0^-}f(x)=-\infty, \lim_{x\to 0^+}f(x)=+\infty}\), to prosta \(\displaystyle{ x=0}\) jest asymptotą pionową wykresu funkcji \(\displaystyle{ f}\).
Mamy dalej \(\displaystyle{ \lim_{x\to -\infty}f(x)=-\infty, \lim_{x\to +\infty}f(x)=+\infty}\), więc można się spodziewać istnienia asymptoty ukośnej (poziome nie istnieją).
Zauważmy, że \(\displaystyle{ a=\lim_{x\to -\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to +\infty}\frac{f(x)}{x}=\frac{1}{2}}\) oraz \(\displaystyle{ b=\lim_{x\to -\infty}[f(x)-ax]=\lim_{x\to +\infty}[f(x)-ax]=0}\), więc prosta \(\displaystyle{ y=ax+b=\frac{1}{2}x}\) jest asymptotą ukośną wykresu funkcji \(\displaystyle{ f}\).

lukasz1804 pisze: Mamy \(\displaystyle{ f'(x)<0 \iff (x\in(-2,0)\vee x\in(0,2)), f'(x)>0\iff (x\in(\infty,-2)\vee x\in(2,+\infty))}\).

A nie powinien się znajdować tam " - " ?

\(\displaystyle{ (x\in(-\infty,-2)\vee x\in(2,+\infty))}\)

lukasz1804 pisze:Zatem pochodna funkcji zmienia znak w otoczeniu punktów -2 i 2, a to w myśl wspomnianego warunku daje, że dla każdego z tych dwóch argumentów funkcja \(\displaystyle{ f}\) osiąga ekstremum lokalne. Co więcej, w otoczeniu punktu -2 pochodna zmienia znak z dodatniego na ujemny - \(\displaystyle{ f(-2)=-2}\) jest zatem maksimum lokalnym funkcji \(\displaystyle{ f}\), a w otoczeniu punktu 2 pochodna zmienia znak z ujemnego na dodatni i funkcja \(\displaystyle{ f}\) osiąga minimum lokalne równe \(\displaystyle{ f(2)=2}\).

Czyli funkcja \(\displaystyle{ f}\) osiąga:
- ekstremum lokalne w otoczeniu punktów -2 oraz 2:
- maksimum lokalne w otoczeniu punktu -2,
- minimum lokalne w otoczeniu punktu 2.

I dzieje się tak, ponieważ zmieniają znaki z dodatniego na ujemny (maksimum), z ujemnego na dodatni (minimum) Jeśli dobrze rozumiem.

Asymptoty już rozumiem.

MadEagle pisze:

lukasz1804 pisze: Mamy \(\displaystyle{ f'(x)<0 \iff (x\in(-2,0)\vee x\in(0,2)), f'(x)>0\iff (x\in(\infty,-2)\vee x\in(2,+\infty))}\).

A nie powinien się znajdować tam " - " ?

\(\displaystyle{ (x\in(-\infty,-2)\vee x\in(2,+\infty))}\)

Masz rację.

MadEagle pisze: Czyli funkcja \(\displaystyle{ f}\) osiąga:
- ekstremum lokalne w otoczeniu punktów -2 oraz 2:
- maksimum lokalne w otoczeniu punktu -2,
- minimum lokalne w otoczeniu punktu 2.

I dzieje się tak, ponieważ zmieniają znaki z dodatniego na ujemny (maksimum), z ujemnego na dodatni (minimum) Jeśli dobrze rozumiem.

Dokładnie tak.