Znajdź ekstrema lokalne i asymptoty dla:
\(\displaystyle{ f\left(x \right) =\frac{x}{2}+\frac{2}{x}}\)
Więc wyznaczam dziedzinę:
D:\(\displaystyle{ x \neq 0}\)
Obliczam pochodną:
\(\displaystyle{ f '\left(x \right) =(\frac{1}{2}\cdot x+2 x^{-1})^{'}=(\frac{1}{2}\cdot x^{1-1}-2x^{-2})^{'}=\frac{1}{2}-2x^{-2}=\frac{1}{2}-\frac{2}{x^2}}\)
Podstawiam liczby:
\(\displaystyle{ f\left( -3 \right)=\frac{5}{18}}\)
\(\displaystyle{ f\left( -2 \right)=0}\)
\(\displaystyle{ f\left( -1 \right)=1}\)
\(\displaystyle{ f\left( 1 \right)=\frac{3}{2}}\)
\(\displaystyle{ f\left( 2 \right)=0}\)
\(\displaystyle{ f\left( 3 \right)=\frac{5}{18}}\)
Rysuje wykres(nie wiem jak zrobić to w \(\displaystyle{ \LaTeX}\)-ie)
I tutaj pytania..
1.Jakie jest minimum lokalne:
- Czy to \(\displaystyle{ f(2)\cup f(-2)}\)?
2.Jakie jest ekstremum lokalne i globalne:
- Czy to \(\displaystyle{ f(-1)\cup f(1)}\) ?
3.Jak oblicza się asymptoty i czy w ogóle są?
Ekstrema i Asymptoty
-
- Użytkownik
- Posty: 58
- Rejestracja: 3 sie 2010, o 09:22
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Za Tobą
- Podziękował: 8 razy
Ekstrema i Asymptoty
Ostatnio zmieniony 3 sie 2010, o 10:21 przez lukasz1804, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Umieszczaj CAŁE wyrażenia matematyczne, a nie tylko ich fragmenty, między jedną parą tagów[latex] i [/latex] - zapis będzie czytelniejszy. Poprawa wiadomości.
Powód: Umieszczaj CAŁE wyrażenia matematyczne, a nie tylko ich fragmenty, między jedną parą tagów
-
- Użytkownik
- Posty: 4438
- Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 1313 razy
Ekstrema i Asymptoty
W celu zbadania istnienia ekstremów lokalnych funkcji, wykorzystaj warunek konieczny i wystarczający istnienia ekstremum.
Warunki istnienia asymptot są po krótce opisane w 80977.htm .
(Nie trzeba szkicować wykresu funkcji, by zbadać istnienie ekstremów funkcji czy asymptot jej wykresu.)
Warunki istnienia asymptot są po krótce opisane w 80977.htm .
(Nie trzeba szkicować wykresu funkcji, by zbadać istnienie ekstremów funkcji czy asymptot jej wykresu.)
-
- Użytkownik
- Posty: 58
- Rejestracja: 3 sie 2010, o 09:22
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Za Tobą
- Podziękował: 8 razy
Ekstrema i Asymptoty
Dzięki za informację, ale jak bym wiedział jak wykorzystać ten warunek to nie szukałbym pomocy, tylko go wykorzystał.
Czyli wychodzi na to, że asymptoty nie istnieją?
Czyli wychodzi na to, że asymptoty nie istnieją?
-
- Użytkownik
- Posty: 4438
- Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 1313 razy
Ekstrema i Asymptoty
To po kolei zbadajmy daną funkcję.
Mamy \(\displaystyle{ f'(x)=0\iff x^2=4\iff (x=-2\vee x=2)}\). Zatem z warunku koniecznego istnienia ekstremum lokalnego funkcji wynika, że ekstremum może być osiągane dla wyznaczonych dwóch argumentów. Ale czy jest tam ono faktycznie osiągane, należy sprawdzić korzystając z warunku wystarczającego.
Mamy \(\displaystyle{ f'(x)<0 \iff (x\in(-2,0)\vee x\in(0,2)), f'(x)>0\iff (x\in(\infty,-2)\vee x\in(2,+\infty))}\). Zatem pochodna funkcji zmienia znak w otoczeniu punktów -2 i 2, a to w myśl wspomnianego warunku daje, że dla każdego z tych dwóch argumentów funkcja \(\displaystyle{ f}\) osiąga ekstremum lokalne. Co więcej, w otoczeniu punktu -2 pochodna zmienia znak z dodatniego na ujemny - \(\displaystyle{ f(-2)=-2}\) jest zatem maksimum lokalnym funkcji \(\displaystyle{ f}\), a w otoczeniu punktu 2 pochodna zmienia znak z ujemnego na dodatni i funkcja \(\displaystyle{ f}\) osiąga minimum lokalne równe \(\displaystyle{ f(2)=2}\).
Teraz asymptoty.
Ponieważ \(\displaystyle{ \lim_{x\to 0^-}f(x)=-\infty, \lim_{x\to 0^+}f(x)=+\infty}\), to prosta \(\displaystyle{ x=0}\) jest asymptotą pionową wykresu funkcji \(\displaystyle{ f}\).
Mamy dalej \(\displaystyle{ \lim_{x\to -\infty}f(x)=-\infty, \lim_{x\to +\infty}f(x)=+\infty}\), więc można się spodziewać istnienia asymptoty ukośnej (poziome nie istnieją).
Zauważmy, że \(\displaystyle{ a=\lim_{x\to -\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to +\infty}\frac{f(x)}{x}=\frac{1}{2}}\) oraz \(\displaystyle{ b=\lim_{x\to -\infty}[f(x)-ax]=\lim_{x\to +\infty}[f(x)-ax]=0}\), więc prosta \(\displaystyle{ y=ax+b=\frac{1}{2}x}\) jest asymptotą ukośną wykresu funkcji \(\displaystyle{ f}\).
Mamy \(\displaystyle{ f'(x)=0\iff x^2=4\iff (x=-2\vee x=2)}\). Zatem z warunku koniecznego istnienia ekstremum lokalnego funkcji wynika, że ekstremum może być osiągane dla wyznaczonych dwóch argumentów. Ale czy jest tam ono faktycznie osiągane, należy sprawdzić korzystając z warunku wystarczającego.
Mamy \(\displaystyle{ f'(x)<0 \iff (x\in(-2,0)\vee x\in(0,2)), f'(x)>0\iff (x\in(\infty,-2)\vee x\in(2,+\infty))}\). Zatem pochodna funkcji zmienia znak w otoczeniu punktów -2 i 2, a to w myśl wspomnianego warunku daje, że dla każdego z tych dwóch argumentów funkcja \(\displaystyle{ f}\) osiąga ekstremum lokalne. Co więcej, w otoczeniu punktu -2 pochodna zmienia znak z dodatniego na ujemny - \(\displaystyle{ f(-2)=-2}\) jest zatem maksimum lokalnym funkcji \(\displaystyle{ f}\), a w otoczeniu punktu 2 pochodna zmienia znak z ujemnego na dodatni i funkcja \(\displaystyle{ f}\) osiąga minimum lokalne równe \(\displaystyle{ f(2)=2}\).
Teraz asymptoty.
Ponieważ \(\displaystyle{ \lim_{x\to 0^-}f(x)=-\infty, \lim_{x\to 0^+}f(x)=+\infty}\), to prosta \(\displaystyle{ x=0}\) jest asymptotą pionową wykresu funkcji \(\displaystyle{ f}\).
Mamy dalej \(\displaystyle{ \lim_{x\to -\infty}f(x)=-\infty, \lim_{x\to +\infty}f(x)=+\infty}\), więc można się spodziewać istnienia asymptoty ukośnej (poziome nie istnieją).
Zauważmy, że \(\displaystyle{ a=\lim_{x\to -\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to +\infty}\frac{f(x)}{x}=\frac{1}{2}}\) oraz \(\displaystyle{ b=\lim_{x\to -\infty}[f(x)-ax]=\lim_{x\to +\infty}[f(x)-ax]=0}\), więc prosta \(\displaystyle{ y=ax+b=\frac{1}{2}x}\) jest asymptotą ukośną wykresu funkcji \(\displaystyle{ f}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 58
- Rejestracja: 3 sie 2010, o 09:22
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Za Tobą
- Podziękował: 8 razy
Ekstrema i Asymptoty
A nie powinien się znajdować tam " - " ?lukasz1804 pisze: Mamy \(\displaystyle{ f'(x)<0 \iff (x\in(-2,0)\vee x\in(0,2)), f'(x)>0\iff (x\in(\infty,-2)\vee x\in(2,+\infty))}\).
\(\displaystyle{ (x\in(-\infty,-2)\vee x\in(2,+\infty))}\)
Czyli funkcja \(\displaystyle{ f}\) osiąga:lukasz1804 pisze:Zatem pochodna funkcji zmienia znak w otoczeniu punktów -2 i 2, a to w myśl wspomnianego warunku daje, że dla każdego z tych dwóch argumentów funkcja \(\displaystyle{ f}\) osiąga ekstremum lokalne. Co więcej, w otoczeniu punktu -2 pochodna zmienia znak z dodatniego na ujemny - \(\displaystyle{ f(-2)=-2}\) jest zatem maksimum lokalnym funkcji \(\displaystyle{ f}\), a w otoczeniu punktu 2 pochodna zmienia znak z ujemnego na dodatni i funkcja \(\displaystyle{ f}\) osiąga minimum lokalne równe \(\displaystyle{ f(2)=2}\).
- ekstremum lokalne w otoczeniu punktów -2 oraz 2:
- maksimum lokalne w otoczeniu punktu -2,
- minimum lokalne w otoczeniu punktu 2.
I dzieje się tak, ponieważ zmieniają znaki z dodatniego na ujemny (maksimum), z ujemnego na dodatni (minimum) Jeśli dobrze rozumiem.
Asymptoty już rozumiem.
-
- Użytkownik
- Posty: 4438
- Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 1313 razy
Ekstrema i Asymptoty
Masz rację.MadEagle pisze:A nie powinien się znajdować tam " - " ?lukasz1804 pisze: Mamy \(\displaystyle{ f'(x)<0 \iff (x\in(-2,0)\vee x\in(0,2)), f'(x)>0\iff (x\in(\infty,-2)\vee x\in(2,+\infty))}\).
\(\displaystyle{ (x\in(-\infty,-2)\vee x\in(2,+\infty))}\)
Dokładnie tak.MadEagle pisze: Czyli funkcja \(\displaystyle{ f}\) osiąga:
- ekstremum lokalne w otoczeniu punktów -2 oraz 2:
- maksimum lokalne w otoczeniu punktu -2,
- minimum lokalne w otoczeniu punktu 2.
I dzieje się tak, ponieważ zmieniają znaki z dodatniego na ujemny (maksimum), z ujemnego na dodatni (minimum) Jeśli dobrze rozumiem.