[MIX] Mix matematyczny (27)
: 25 cze 2010, o 18:18
1. Znajdz wszystkie pary \(\displaystyle{ (m,n)}\) liczb naturalnych, takich że \(\displaystyle{ m^2+n^2}\) jest dzielnikiem liczb \(\displaystyle{ m^3+n}\) i \(\displaystyle{ m+n^3}\)
2. Niech dana będzie macierz A
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccccc}11&17&25&19&16\\24&10&13&15&3\\12&5&14&2&18\\23&4&1&8&22\\6&20&7&21&9\end{array}\right]}\)
Wybierz 5 elementów , po jednym z każdego wiersza i kolumny, tak aby minimum z wybranej piątki było możliwie największe. Uzasadnić wybór.
3. Znajdz wszystkie \(\displaystyle{ f: R \mapsto R}\) ciągłe i takie że
\(\displaystyle{ f(x)^3=-\frac{x}{12}(x^2+7xf(x)+16f(x)^2)}\)
dla \(\displaystyle{ x \in R}\)
4. \(\displaystyle{ AB}\) jest średnicą okręgu na którym leży punkt \(\displaystyle{ C}\). Styczne w punktach \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ C}\) przecinają się w \(\displaystyle{ E}\). Punkt \(\displaystyle{ N}\) jest środkiem odcinka \(\displaystyle{ AC}\), zaś \(\displaystyle{ K}\) jest środkiem łuku \(\displaystyle{ BC}\) (który nie zawiera \(\displaystyle{ A}\)). Prosta \(\displaystyle{ KN}\) przecina okrąg w punkcie \(\displaystyle{ M}\). Wykaż, że kąt \(\displaystyle{ EMK}\) jest prosty.
5. Wykaż je jesli \(\displaystyle{ a+b+c+d+e+f=0}\) oraz \(\displaystyle{ a^3+b^3+c^3+d^3+e^3+f^3=0}\) to
\(\displaystyle{ (a+c)(a+d)(a+e)(a+f)=(b+c)(b+d)(b+e)(b+f)}\)
6. Niech \(\displaystyle{ n}\) bedzie liczba naturalna, i liczby \(\displaystyle{ a_j \geq 1}\) dla \(\displaystyle{ j=1,...,n}\). Wykazać iz \(\displaystyle{ (1+a_1)...(1+a_n) \geq \frac{2^n}{n+1}(1+a_1+...+a_n)}\)
kiedy zachodzi równosc ?
7. Wykaż i to na 4 rózne sposoby ze nie istnieje wielomian \(\displaystyle{ p(x)}\), taki ze \(\displaystyle{ p(n)=log(1)+...+log(n)}\)
dla \(\displaystyle{ n=1,2,3,...}\)
8. Dane są trzy liczby naturalne \(\displaystyle{ x, y, z}\) powiązane zaleznościa \(\displaystyle{ xy= z^2+1}\). Wykazać, ze istnieja liczby całkowite \(\displaystyle{ a,b,c,d}\) takie że
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=a^2+b^2\\y=c^2+d^2\\z=ac+bd\end{cases}}\)
Dać przykład (podając \(\displaystyle{ a,b,c,d}\), dla \(\displaystyle{ x=13, \ y=5, \ z=8}\))
9. Na tablicy wypisano ciąg w którym występuja kolejne liczby naturalne \(\displaystyle{ n}\) oraz ich kolejne wielokrotności (od \(\displaystyle{ n}\) do \(\displaystyle{ n^2}\)) tj ciag
\(\displaystyle{ 1, 2,4, 3,6,9, 4,8, 12, 16, 5,10,15,20,25, 6,...}\)
a) znajdz 2010 wyraz tego ciagu
b) podaj najmniejszy index \(\displaystyle{ j}\) taki że \(\displaystyle{ a_j=2010}\)
10. Znajdz wielomian stopnia drugiego, tj \(\displaystyle{ p(x)=ax^{2}+bx+c}\), którego współczynniki są liczbami rzeczywistymi o tej własnosci że dzieli on dwa z poniższych wielomianów, ale nie dzieli trzeciego z nich
\(\displaystyle{ x^{3986}+x^{1993}+1}\), \(\displaystyle{ x^{3988}+x^{1994}+1}\), \(\displaystyle{ x^{3990}+x^{1995}+1}\),
11. Zadanie H. Steinhausa. Mamy dowolny trójkąt. możemy go przeciąć linią prostą tak, by przepołowić jego obwód. Możemy nawet z góry przepisać kierunek linii przecinającej. Gdy zrobimy to dwa razy, używając dwu różnych kierunków, linie proste przetną się w pewnym punkcie \(\displaystyle{ Q}\). Wtedy przez \(\displaystyle{ Q}\) wiodą dwie linie proste przepoławiające obwód.
Czy istnieje punkt, przez który wiodą trzy takie linie ? Jeśli tak, to jak go znaleźć ?
2. Niech dana będzie macierz A
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccccc}11&17&25&19&16\\24&10&13&15&3\\12&5&14&2&18\\23&4&1&8&22\\6&20&7&21&9\end{array}\right]}\)
Wybierz 5 elementów , po jednym z każdego wiersza i kolumny, tak aby minimum z wybranej piątki było możliwie największe. Uzasadnić wybór.
3. Znajdz wszystkie \(\displaystyle{ f: R \mapsto R}\) ciągłe i takie że
\(\displaystyle{ f(x)^3=-\frac{x}{12}(x^2+7xf(x)+16f(x)^2)}\)
dla \(\displaystyle{ x \in R}\)
4. \(\displaystyle{ AB}\) jest średnicą okręgu na którym leży punkt \(\displaystyle{ C}\). Styczne w punktach \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ C}\) przecinają się w \(\displaystyle{ E}\). Punkt \(\displaystyle{ N}\) jest środkiem odcinka \(\displaystyle{ AC}\), zaś \(\displaystyle{ K}\) jest środkiem łuku \(\displaystyle{ BC}\) (który nie zawiera \(\displaystyle{ A}\)). Prosta \(\displaystyle{ KN}\) przecina okrąg w punkcie \(\displaystyle{ M}\). Wykaż, że kąt \(\displaystyle{ EMK}\) jest prosty.
5. Wykaż je jesli \(\displaystyle{ a+b+c+d+e+f=0}\) oraz \(\displaystyle{ a^3+b^3+c^3+d^3+e^3+f^3=0}\) to
\(\displaystyle{ (a+c)(a+d)(a+e)(a+f)=(b+c)(b+d)(b+e)(b+f)}\)
6. Niech \(\displaystyle{ n}\) bedzie liczba naturalna, i liczby \(\displaystyle{ a_j \geq 1}\) dla \(\displaystyle{ j=1,...,n}\). Wykazać iz \(\displaystyle{ (1+a_1)...(1+a_n) \geq \frac{2^n}{n+1}(1+a_1+...+a_n)}\)
kiedy zachodzi równosc ?
7. Wykaż i to na 4 rózne sposoby ze nie istnieje wielomian \(\displaystyle{ p(x)}\), taki ze \(\displaystyle{ p(n)=log(1)+...+log(n)}\)
dla \(\displaystyle{ n=1,2,3,...}\)
8. Dane są trzy liczby naturalne \(\displaystyle{ x, y, z}\) powiązane zaleznościa \(\displaystyle{ xy= z^2+1}\). Wykazać, ze istnieja liczby całkowite \(\displaystyle{ a,b,c,d}\) takie że
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=a^2+b^2\\y=c^2+d^2\\z=ac+bd\end{cases}}\)
Dać przykład (podając \(\displaystyle{ a,b,c,d}\), dla \(\displaystyle{ x=13, \ y=5, \ z=8}\))
9. Na tablicy wypisano ciąg w którym występuja kolejne liczby naturalne \(\displaystyle{ n}\) oraz ich kolejne wielokrotności (od \(\displaystyle{ n}\) do \(\displaystyle{ n^2}\)) tj ciag
\(\displaystyle{ 1, 2,4, 3,6,9, 4,8, 12, 16, 5,10,15,20,25, 6,...}\)
a) znajdz 2010 wyraz tego ciagu
b) podaj najmniejszy index \(\displaystyle{ j}\) taki że \(\displaystyle{ a_j=2010}\)
10. Znajdz wielomian stopnia drugiego, tj \(\displaystyle{ p(x)=ax^{2}+bx+c}\), którego współczynniki są liczbami rzeczywistymi o tej własnosci że dzieli on dwa z poniższych wielomianów, ale nie dzieli trzeciego z nich
\(\displaystyle{ x^{3986}+x^{1993}+1}\), \(\displaystyle{ x^{3988}+x^{1994}+1}\), \(\displaystyle{ x^{3990}+x^{1995}+1}\),
11. Zadanie H. Steinhausa. Mamy dowolny trójkąt. możemy go przeciąć linią prostą tak, by przepołowić jego obwód. Możemy nawet z góry przepisać kierunek linii przecinającej. Gdy zrobimy to dwa razy, używając dwu różnych kierunków, linie proste przetną się w pewnym punkcie \(\displaystyle{ Q}\). Wtedy przez \(\displaystyle{ Q}\) wiodą dwie linie proste przepoławiające obwód.
Czy istnieje punkt, przez który wiodą trzy takie linie ? Jeśli tak, to jak go znaleźć ?