Matematyka.pl

Witam,
proszę uprzejmie o pomoc przy takiej o to całeczce:

\(\displaystyle{ \int_{}^{} \int_{}^{} \int_{}^{} x^{2}*z}\) gdzie V to obszar ograniczony powierzchniami:

\(\displaystyle{ z=-1}\)
\(\displaystyle{ z= - \sqrt{ x^{2} + y^{2} }}\)

Nie wiem za bardzo czy dobrze robię rysunek, ale pomysł był taki: Otóż rysuję sobie pow. stożkową z wierzchołkiem w 0,0,0 wzdłuż ujemnej osi z aż do z=-1. Wprowadzam współrzędne cylindryczne, kąt zmienia mi się od 0 do 2pi, ale jak zmienia się promień oraz z? Z początku napisałem że z jest między -1 a 0, zaś promień od 0 do 1, ale to raczej źle jest...

Byłbym wdzięczny za pomoc.

Zakres dla promienia masz dobrze (btw ciekawe skąd to wiedziałeś - czy może zgadłeś?), natomiast jest chodzi o \(\displaystyle{ z}\) to z góry bryła ograniczona jest stożkiem, a z dołu płaszczyzną, czyli we współrzędnych walcowych masz

\(\displaystyle{ -1\le z\le -r}\)

Pozdrawiam.

Ten promień to tak trochę na czuja;) wstawiłem z=-1 do tego równania stożka, po drobnych przekształceniach dało to 1=x^2+y^2, co wygląda jak równanie okręgu, wyznaczającego tak jakby tą część którą stożek wycina z płaszczyzny...rzut promienia wodzącego powinien się w takim obszarze zawierać, czyli mieć długość między 0 a 1. Dobrze myślę..?

Pozdrawiam i dziękuję

No to masz dobrego czuja Rzeczywiście, jak się zrzutuje całą bryłę na \(\displaystyle{ XOY}\) to się dostanie koło o takim promieniu, jaki ma okrąg będący przecięciem płaszczyzny ze stożkiem.

Btw, dokładniej mówiąc, równanie \(\displaystyle{ z=-\sqrt{x^2+y^2}}\) przedstawia "dolną" połowę stożka.

Pozdrawiam.

Takie drobne, troche głupie pytanie Myślałem, że jak zrobię rysunek i wyznaczę granice to już zadanie praktycznie zrobione, ale chyba mnie przerosło, bo jakbym nie liczył tej całki to mi ujemna wychodzi...sorki że zawracam głowę taką bzdurą, ale czy ktoś mógłby to policzyć?

Musi wyjść ujemna, bo funkcja podcałkowa jest ujemna na \(\displaystyle{ V}\). Nie liczysz przecież objętości ani masy...

Pozdrawiam.