Całka potrójna po V ogr. płaszczyzną i stożkiem(?)

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
Barnie
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 20
Rejestracja: 26 paź 2008, o 17:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 1 raz

Całka potrójna po V ogr. płaszczyzną i stożkiem(?)

Post autor: Barnie » 24 cze 2010, o 20:23

Witam,
proszę uprzejmie o pomoc przy takiej o to całeczce:

\(\displaystyle{ \int_{}^{} \int_{}^{} \int_{}^{} x^{2}*z}\) gdzie V to obszar ograniczony powierzchniami:

\(\displaystyle{ z=-1}\)
\(\displaystyle{ z= - \sqrt{ x^{2} + y^{2} }}\)

Nie wiem za bardzo czy dobrze robię rysunek, ale pomysł był taki: Otóż rysuję sobie pow. stożkową z wierzchołkiem w 0,0,0 wzdłuż ujemnej osi z aż do z=-1. Wprowadzam współrzędne cylindryczne, kąt zmienia mi się od 0 do 2pi, ale jak zmienia się promień oraz z? Z początku napisałem że z jest między -1 a 0, zaś promień od 0 do 1, ale to raczej źle jest...

Byłbym wdzięczny za pomoc.

BettyBoo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5356
Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gliwice
Pomógł: 1380 razy

Całka potrójna po V ogr. płaszczyzną i stożkiem(?)

Post autor: BettyBoo » 24 cze 2010, o 20:41

Zakres dla promienia masz dobrze (btw ciekawe skąd to wiedziałeś - czy może zgadłeś?), natomiast jest chodzi o \(\displaystyle{ z}\) to z góry bryła ograniczona jest stożkiem, a z dołu płaszczyzną, czyli we współrzędnych walcowych masz

\(\displaystyle{ -1\le z\le -r}\)

Pozdrawiam.

Barnie
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 20
Rejestracja: 26 paź 2008, o 17:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 1 raz

Całka potrójna po V ogr. płaszczyzną i stożkiem(?)

Post autor: Barnie » 24 cze 2010, o 21:02

Ten promień to tak trochę na czuja;) wstawiłem z=-1 do tego równania stożka, po drobnych przekształceniach dało to 1=x^2+y^2, co wygląda jak równanie okręgu, wyznaczającego tak jakby tą część którą stożek wycina z płaszczyzny...rzut promienia wodzącego powinien się w takim obszarze zawierać, czyli mieć długość między 0 a 1. Dobrze myślę..?

Pozdrawiam i dziękuję

BettyBoo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5356
Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gliwice
Pomógł: 1380 razy

Całka potrójna po V ogr. płaszczyzną i stożkiem(?)

Post autor: BettyBoo » 24 cze 2010, o 21:09

No to masz dobrego czuja Rzeczywiście, jak się zrzutuje całą bryłę na \(\displaystyle{ XOY}\) to się dostanie koło o takim promieniu, jaki ma okrąg będący przecięciem płaszczyzny ze stożkiem.

Btw, dokładniej mówiąc, równanie \(\displaystyle{ z=-\sqrt{x^2+y^2}}\) przedstawia "dolną" połowę stożka.

Pozdrawiam.

Barnie
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 20
Rejestracja: 26 paź 2008, o 17:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 1 raz

Całka potrójna po V ogr. płaszczyzną i stożkiem(?)

Post autor: Barnie » 24 cze 2010, o 21:43

Takie drobne, troche głupie pytanie Myślałem, że jak zrobię rysunek i wyznaczę granice to już zadanie praktycznie zrobione, ale chyba mnie przerosło, bo jakbym nie liczył tej całki to mi ujemna wychodzi...sorki że zawracam głowę taką bzdurą, ale czy ktoś mógłby to policzyć?

BettyBoo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5356
Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gliwice
Pomógł: 1380 razy

Całka potrójna po V ogr. płaszczyzną i stożkiem(?)

Post autor: BettyBoo » 24 cze 2010, o 21:51

Musi wyjść ujemna, bo funkcja podcałkowa jest ujemna na \(\displaystyle{ V}\). Nie liczysz przecież objętości ani masy...

Pozdrawiam.

ODPOWIEDZ