Matematyka.pl

Wykazać że funkcja uwikłana wielu zmiennych \(\displaystyle{ \ z(x, y)}\), określona równaniem \(\displaystyle{ \ F(x/z, y/z)=0}\), gdzie \(\displaystyle{ \ F}\) jest dowolna funkcją różniczkowalną dwóch zmiennych, spełnia równanie
\(\displaystyle{ x z'_{x}+yz'_{y}=z}\)

1) Równość \(\displaystyle{ F\left(\frac{x}{z}, \frac{y}{z}\right)=0}\) zapisz w postaci: \(\displaystyle{ F(p,q)=0,\ p=\frac{x}{z},\ q= \frac{y}{z}}\).

2) Korzystając ze wzoru na pochodną funkcji złożonej oraz pamiętając, że \(\displaystyle{ z=z(x,y)}\) zróżniczkuj tą równość po \(\displaystyle{ x}\) oraz po \(\displaystyle{ y}\)

3) Z obu otrzymanych równości wyznacz np. iloraz \(\displaystyle{ \frac{F'_p}{F'_q}}\) i porównaj. Po uproszczeniu otrzymasz to, o co chodzi.

Pozdrawiam.

Dzięki, oby Ci Bóg w dzieciach wynagrodził.

Mógłby ktoś przedstawić sposób rozwiązania punktu 2?

Dziękuję, pozdrawiam