Funkcja uwikłana. Wykazać że...

Różniczkowalność, pochodna funkcji. Przebieg zmienności. Zadania optymalizacyjne. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku różniczkowego.
barnej
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 19 lis 2009, o 17:11
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: czwarty wymiar

Funkcja uwikłana. Wykazać że...

Post autor: barnej » 9 cze 2010, o 20:33

Wykazać że funkcja uwikłana wielu zmiennych \(\displaystyle{ \ z(x, y)}\), określona równaniem \(\displaystyle{ \ F(x/z, y/z)=0}\), gdzie \(\displaystyle{ \ F}\) jest dowolna funkcją różniczkowalną dwóch zmiennych, spełnia równanie
\(\displaystyle{ x z'_{x}+yz'_{y}=z}\)

BettyBoo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5356
Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gliwice
Pomógł: 1380 razy

Funkcja uwikłana. Wykazać że...

Post autor: BettyBoo » 10 cze 2010, o 18:53

1) Równość \(\displaystyle{ F\left(\frac{x}{z}, \frac{y}{z}\right)=0}\) zapisz w postaci: \(\displaystyle{ F(p,q)=0,\ p=\frac{x}{z},\ q= \frac{y}{z}}\).

2) Korzystając ze wzoru na pochodną funkcji złożonej oraz pamiętając, że \(\displaystyle{ z=z(x,y)}\) zróżniczkuj tą równość po \(\displaystyle{ x}\) oraz po \(\displaystyle{ y}\)

3) Z obu otrzymanych równości wyznacz np. iloraz \(\displaystyle{ \frac{F'_p}{F'_q}}\) i porównaj. Po uproszczeniu otrzymasz to, o co chodzi.

Pozdrawiam.

barnej
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 19 lis 2009, o 17:11
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: czwarty wymiar

Funkcja uwikłana. Wykazać że...

Post autor: barnej » 10 cze 2010, o 22:36

Dzięki, oby Ci Bóg w dzieciach wynagrodził.

Awatar użytkownika
El Sajmono
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 160
Rejestracja: 6 kwie 2012, o 20:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Pomógł: 36 razy

Funkcja uwikłana. Wykazać że...

Post autor: El Sajmono » 4 cze 2015, o 13:13

Mógłby ktoś przedstawić sposób rozwiązania punktu 2?

Dziękuję, pozdrawiam

ODPOWIEDZ