Matematyka.pl

Dla jakich wartości parametrów a i b liczba 2 jest podwójnym pierwiastkiem wielomianu \(\displaystyle{ W(x)=x^4-5x^3+9x^2+ax+b}\)?

Błagam o bardzo szybką podpowiedź jak się w ogóle za to zabrać!!!

no tak skoro 2 ma być podwójnym pierwiastkiem wielomianu to wielomian ten podzieli się przez \(\displaystyle{ (x-2) ^{2}}\)(na mocy twierdzenia Bezout). Wykonaj dzielenie pisemne i dobierz tak współczynniki a i b aby reszta wynosiła 0

Dany jest wielomian:

\(\displaystyle{ W(x)=x^4-5x^3+9x^2+ax+b}\)

Aby podwójnym pierwiastkiem tego wielomianu była liczba 2, musi on dzielić się przez wyraz \(\displaystyle{ (x-2)^2}\).

Przystępujemy zatem do pisemnego dzielenia wielomianu.

Po podzieleniu powinniśmy otrzymać:

\(\displaystyle{ W(x)=(x-2)^2(x^2-x+1)+R}\)

\(\displaystyle{ R=(a+8)x+b-4}\)

\(\displaystyle{ R}\) jest resztą z dzielenia wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\) przez \(\displaystyle{ (x-2)^2}\). Reszta ta musi równać się 0.

\(\displaystyle{ R=0 \Rightarrow a+8=0 \wedge b-4=0}\)

\(\displaystyle{ a=-8}\)
\(\displaystyle{ b=4}\)