Matematyka.pl

Znaleźć objętość bryły ograniczonej nastepującymi powierzchniami
\(\displaystyle{ x+y+z=10}\)
\(\displaystyle{ x^{2}+ y^{2} = 4}\)
\(\displaystyle{ x=0 y=0 z=0}\)

Narysowałem rysunek ale teraz mam pewien problem z interpretacją

Czy dobrze napisałem wzór \(\displaystyle{ \int_{0}^{2}dx \int_{ 0 }^{\sqrt{4- x^{2} }} dy \int_{0}^{10-x-y}dz}\) , a jeżeli nie, to jak i dlaczego.


Mam też podobne zadanie.
Znaleźć objętość bryły leżącej nad płaszczyzną \(\displaystyle{ \mbox{OXY}}\) i ograniczonej płaszczyzną \(\displaystyle{ z=3x}\), powierzchnią \(\displaystyle{ x^{2}+ y^{2} = 4}\) ,oraz płaszczyznami \(\displaystyle{ \mbox{OXY}}\) i \(\displaystyle{ \mbox{OXZ}}\).
I to zadanie mi się wydaje bardzo podobne do powyższego. Więc czy sposób rozumowanie będzie ten sam

Proszę o wyrozumiałość, ponieważ jest to mój pierwszy post.

Według mnie jest OK.

Można zamienić też na wsp. walcowe:

\(\displaystyle{ x=r\cos t}\)
\(\displaystyle{ y=r\sin t}\)
\(\displaystyle{ z=z}\)
\(\displaystyle{ |J|=r}\)

\(\displaystyle{ z \in <0, 10-r\cos t-r\sin t>}\)
\(\displaystyle{ t \in <0, \frac{\pi}{2}>}\)
\(\displaystyle{ r \in <0,2>}\)

\(\displaystyle{ \int_{0}^{10-r\cos t-r\sin t} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{0}^{2} r drdtdz= ...}\)

Wyszlo mi \(\displaystyle{ 10 \pi}\)
w drugim zadaniu \(\displaystyle{ 6 \pi}\)

Ale ten wynik wydaje mi się błędny.

w drugim będzie tak.

wsp. biegunowe:

\(\displaystyle{ t<0,\pi>}\)
\(\displaystyle{ r<0,2>}\)
\(\displaystyle{ z<0,3r\cos t>}\)
\(\displaystyle{ |J|=r}\)

\(\displaystyle{ \int_{0}^{2} \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{3r\cos t}rdrdtdz= ....= 8\pi}\)

dla wsp. kart.

\(\displaystyle{ 0 \le x \le 2}\)
\(\displaystyle{ 0 \le y \le \sqrt{4-x^2}}\)
\(\displaystyle{ 0 \le z \le 3x}\)

\(\displaystyle{ \int_{0}^{2} \int_{0}^{\sqrt{4-x^2}} \int_{0}^{3x}dxdydz = \dots = 8\pi}\)

Czy ktoś byłby dla mnie tak dobry i napisał jak obliczyć to krok po kroku, bo liczyłam już 3 razy i nie chcą mi wyjść wasze wynika. Bardzo proszę o pomoc.