Matematyka.pl

Liczby całkowite dodatnie a,b,c są parami wzglednie pierwsze oraz spełniają równanie a^2 + b^2 = c^2 liczby a i c są nieparzyste. Udowodnij że b+c jest kwadratem liczby całkowitej.

A podstawiałeś te warunki do rozwiązań ogólnych równania Pitagorasa? To bardzo pomoże...

Podstawiałem warunki że sa nieparzyste
Ale nie za wiele to dało ,
jeszcze skorzystalem ze wzoru na różnice kwadratów i jeszcze do końca nie doszedłem:

c^2 - b^2 = a^2
(c-b)(c+b) = a^2
c+b = a^2 / (c-b)


Ale dalej nie wiem

Nie wiem jak podstawic to że są parami względnie pierwsze, jak z tego skorzystać.

nie nie... wygogluj sobie równanie Pitagorasa, a zobaczysz skąd warunek, że mają byc względnie pierwsze

a^2 + b^2 = c^2 istnieja takie m,n nalezace do calkowitych dodatnich
ze a = m^2 - n^2
b = 2mn
c = m^2 + n^2

Dobra dzieki juz wiem jak to zrobić!

bez wzorow z m,n
zapisz a2=(c-b)(c+b)
gdyby c+b nie bylo kwadratem to musialoby byc podzielne przez pewna liczbe pierwsza p o wykladniku nieparzystym, ale lewa strona ma wszystkie dzielniki pierwsze w potedze o wykladniku parzystym, zatem
c-b tez jest przez p podzielne, tym samym a, zatem
p|c-b
p|c+b
p|2c
ale p nie moze byc rowne 2, bo a jest nieparzyste, nie moze tez dzielic c, bo c i a sa wzglednie pierwsze. sprzecznosc