Matematyka.pl

objętość bryły ograniczonej powierzchniami \(\displaystyle{ z=4-x^2-y^2,\quad 2z=2+x^2+y^2}\)

Ja bym to zrobił tak: ( jeśli źle to proszę o poprawę)

Mamy dwie paraboloidy. Jedna ma ramiona skierowane do góry, druga do dołu.
czyli:
\(\displaystyle{ x^2+y^2=4-z}\) to paraboloida majaca wierzchołek w 4, i ramiona do dołu.
\(\displaystyle{ 2z-2=x^2+y^2}\) tutaj mamy wierzchołek w punkcie 1, ramiona do góry.

Szukamy płaszczyzny w których się przecinają, czyli bierzemy porównujemy po prostu dwa równania i otrzymujemy:
\(\displaystyle{ 2z=2+4-z}\)
czyli dla \(\displaystyle{ z=3}\)

podstawiamy do obojętnie którego równania paraboloidy i wychodzi nam okrąg:
\(\displaystyle{ x^2+y^2=1}\)
Jest to nasz rzut na płaszczyznę oxy.

Do obliczenia objętości wygodnie jest użyć wsp. biegunowych.
\(\displaystyle{ x=r\cos t}\)


\(\displaystyle{ y=r \sin t}\)
\(\displaystyle{ z=z}\)
\(\displaystyle{ |J|=r}\)

teraz zakresy:
\(\displaystyle{ t\in[0,2\pi]}\)
\(\displaystyle{ r\in[0,1]}\)
\(\displaystyle{ z< \frac{r^2}{2}+1,4-r^2}\) (dolna granica to parabola z ramionami do góry, górna zaś z ramionami do dołu.

\(\displaystyle{ \iiint\limits_V r dr dt dz=\ldots}\)

Jeden drobny błąd: \(\displaystyle{ 2z=2+4-z\ \Rightarrow \ z=2}\), czyli rzutem bryły na\(\displaystyle{ XOY}\) jest koło \(\displaystyle{ x^2+y^2\le 2}\). Wobec tego \(\displaystyle{ r\in \langle 0,\sqrt{2}\rangle}\).

Reszta OK

Pozdrawiam.

a czy można prosić o rozwiązanie tej całki
i wytłumaczenie dlaczego są takie zakresy a nie inne?

najlepiej zapoznaj się z definicją współrzędnych biegunowych i walcowych, bez problemu znajdziesz odpowiednie rysunki, wtedy powinieneś zrozumieć dlaczego granice są akurat takie