Matematyka.pl

Witam,
Jest pewne zadanie na którym padają wszystkie tęgie mózgi, nie mam pomysłu jak to zrobić(nie chodzi raczej o pomysł, a całe rozwiązanie, bo to nie jest standardowe zadanie i wymaga jakiegoś magicznego niestandardowego podejścia)

Ciąg \(\displaystyle{ a_{n}}\) jest określony wzorem rekurencyjnym \(\displaystyle{ a_{0}=3, a_{n}=f(a_{n-1}),n>0}\), gdzie \(\displaystyle{ f(x)=xlnx}\) Co rośnie szybciej \(\displaystyle{ a_{n}}\) czy \(\displaystyle{ n!}\)

Wróble ćwierkają, że da się pokazać indukcyjnie, że od pewnego miejsca \(\displaystyle{ a_n\geq n^n}\), ale o ile krok indukcyjny jest prosty, o tyle do podstawy indukcji chyba bez komputera ani rusz, bo zaczyna się dla dużej wartości.

Q.

Ja mam "para rozwiązanie" polegające na podzieleniu wzorów rekurencyjnych przy założeniu, że silnia to
\(\displaystyle{ b_{n}=nb_{n-1}}\), wydzielam stamtąd jeden ułamek(czynnik) i mówię że w magiczny sposób wiem że jest tam większy, czy mniejszy od 1 dla dostatecznie dużych n, jedna wielka bzdura ale niby jest i pasuje;p.
Słyszałem wersję, że trzeba znaleźć funkcję odwrotną do silni i coś gdzieś podstawić o.O.


Co do tego co mówisz byłoby to bardzo wygodne, ale nie jestem w stanie za bardzo wykazac, znalezc takiego miejsca, musi być naprawdę "daleko".

Tzn komputerowo to mógłbym je znaleźć, napisać program szybko, ale czegoś takiego mi nie uznają.

-- 29 kwi 2010, o 23:54 --

ZROBIONE ; ) samodzielnie : ) no.. krok indukcyjny tylko nie, ale nie był trudny, po prostu nie lubię tego robić, zadanie paradoksalnie jest... proste, potrzebny był przebłysk przy przekształceniach, no i nadszedł : )-- 30 kwi 2010, o 08:07 --A i dowód nie polegał na udowodnieniu że \(\displaystyle{ >n^{n}}\) tylko że \(\displaystyle{ a_n>e^{n+1}}\)