Który ciąg rośnie szybciej-nikt nie wie jak to zrobić

[Robert55]

Witam,
Jest pewne zadanie na którym padają wszystkie tęgie mózgi, nie mam pomysłu jak to zrobić(nie chodzi raczej o pomysł, a całe rozwiązanie, bo to nie jest standardowe zadanie i wymaga jakiegoś magicznego niestandardowego podejścia)

Ciąg \(\displaystyle{ a_{n}}\) jest określony wzorem rekurencyjnym \(\displaystyle{ a_{0}=3, a_{n}=f(a_{n-1}),n>0}\), gdzie \(\displaystyle{ f(x)=xlnx}\) Co rośnie szybciej \(\displaystyle{ a_{n}}\) czy \(\displaystyle{ n!}\)

[Qń]

Wróble ćwierkają, że da się pokazać indukcyjnie, że od pewnego miejsca \(\displaystyle{ a_n\geq n^n}\), ale o ile krok indukcyjny jest prosty, o tyle do podstawy indukcji chyba bez komputera ani rusz, bo zaczyna się dla dużej wartości.

Q.

[Robert55]

Ja mam "para rozwiązanie" polegające na podzieleniu wzorów rekurencyjnych przy założeniu, że silnia to
\(\displaystyle{ b_{n}=nb_{n-1}}\), wydzielam stamtąd jeden ułamek(czynnik) i mówię że w magiczny sposób wiem że jest tam większy, czy mniejszy od 1 dla dostatecznie dużych n, jedna wielka bzdura ale niby jest i pasuje;p.
Słyszałem wersję, że trzeba znaleźć funkcję odwrotną do silni i coś gdzieś podstawić o.O.


Co do tego co mówisz byłoby to bardzo wygodne, ale nie jestem w stanie za bardzo wykazac, znalezc takiego miejsca, musi być naprawdę "daleko".

Tzn komputerowo to mógłbym je znaleźć, napisać program szybko, ale czegoś takiego mi nie uznają.

-- 29 kwi 2010, o 23:54 --

ZROBIONE ; ) samodzielnie : ) no.. krok indukcyjny tylko nie, ale nie był trudny, po prostu nie lubię tego robić, zadanie paradoksalnie jest... proste, potrzebny był przebłysk przy przekształceniach, no i nadszedł : )-- 30 kwi 2010, o 08:07 --A i dowód nie polegał na udowodnieniu że \(\displaystyle{ >n^{n}}\) tylko że \(\displaystyle{ a_n>e^{n+1}}\)