Matematyka.pl

Test na pewną chorobę na którą cierpi średnio 1 osoba na 1000 daje zawsze odpowiedź dodatnią u chorego, a tzw. fałszywą odpowiedź dodatnią u 5% zdrowych.
a)jaka jest szansa że osoba u której test dał odpowiedź pozytywną jest chora? Zakładamy że osoba była wybrana do badań losowo.
b) jaka jest szansa że osoba u której dwa kolejne testy dały odpowiedź pozytywną jest chora?

z punktu b wnioskuję,że chodzi o to,że szansa na dodatni wynik dla osoby zdrowej jest równa 5%. A nie że 5% osobom zdrowym zawsze wychodzi +

zatem a) szansa na wylosowanie osoby chorej \(\displaystyle{ \frac{1}{1000}}\), szansa na wylosowanie osoby zdrowej \(\displaystyle{ \frac{999}{1000}}\)

Zatem z prawdopodobieństwa całkowitego/drzewka,odpowiedź jest równa \(\displaystyle{ \frac{1}{1000} + \frac{999}{1000} \cdot \frac{5}{100}}\)

b) prawdopodobieństwo,że 2 badania pod rząd dadzą dodatni wynik osobie zdrowej,równe jest \(\displaystyle{ \left( \frac{5}{100} \right) ^{2} = \frac{25}{10000}}\) - zatem w 25 badaniach na 10000 wynik u osoby zdrowej będzie dodatni,natomiast u osoby chorej na 10000 badań wszystkie dadzą pozytywny wynik. Zatem szansa na wylosowanie osoby chorej przy dwóch pozytywnych rezultatach równa jest \(\displaystyle{ 1-\frac{25}{10000} = \frac{9975}{10000}}\) (tak mi się wydaje,nie jestem tego pewny na 100%

czy ktoś mógłby potwierdzić poprawność tego rozwiązania? Szczególnie chodzi mi o podpunkt a).

Bo prawdopodobieństwo wykrycia bez znaczenia czy jest się chorym czy nie z drzewka jest

\(\displaystyle{ \frac{1}{1000} + \frac{999}{1000} \cdot 5 \%}\)

Czy to nie jest tak, że odpowiedz wynosi koło 98%?? Chodzi o stosunek obu ułamków. 1 stanowi jakieś 2% całości.

Losujemy jedną osobę. Oznaczmy zdarzenia:
\(\displaystyle{ P}\) - wynik testu pozytywny u tej osoby,
\(\displaystyle{ Z}\) - osoba zdrowa,
\(\displaystyle{ C}\) - osoba chora.

W punkcie a) zadania chcemy policzyć \(\displaystyle{ \mathbb{P}(C|P)}\).

\(\displaystyle{ \mathbb{P}(C|P)=
\frac{\mathbb{P}(C\cap P)}{\mathbb{P}(P)}=
\frac{\mathbb{P}(P|C)\mathbb{P}(C)}{\mathbb{P}(P|C)\mathbb{P}(C)+\mathbb{P}(P|Z)\mathbb{P}(Z)}=}\)
\(\displaystyle{ =
\frac{1\cdot\frac{1}{1000}}{1\cdot\frac{1}{1000}+\frac{1}{20}\cdot\frac{999}{1000}}=
\frac{20}{1019}.}\)

Myślę że wynik jest szokujący dla wielu ludzi. Nawet jeśli ktoś otrzyma pozytywny wynik, to prawdopodobieństwo że jest chory, nie jest zbyt duże.

Punktu b) zadania nie da się zrobić. Może być tak, że u konkretnej osoby zdrowej test zawsze daje tę samą odpowiedź, może być tak, że wyniki u konkretnej osoby są niezależne, a może być też pośrednia sytuacja. W zadaniu nie ma o tym mowy, więc nie da się tego zrobić.