Zbiory śladowe - czyli coś z cyklu nowe teorie w matematyce

[artbyte]

tak a'propos viewtopic.php?p=686071 - fajne

Męczę się ostatnio nad teorią mnogości w innym podejściu viewtopic.php?t=114547
Jest tam trochę nie konsekwencji, być może nawet błędów (spowodowanych między innymi "pisaniem na kolanie") Szczerze jednak powiem, że widzę w tym jakiś sens mimo, że w wątku przewija się pewno mój "chaos poznawczy" Do rzeczy z wątku wymienionego na początku i mojego widać, że można by stworzyć coś na kształt grupy Bourbaki'stów tu w Polsce - tylko po co ?

1. for fun
2. for learnig math
3. to be cool
4. tools

a'propos zbiorów śladowych to dopracowuję szczegóły (być może błądzę jak to kiedyś zauważyła xiikzodz (słusznie - wziąłem te uwagi sobie do serca (sic) - to jest serio, niestety mam obecnie mało czasu by przestudiować teorię kategorii jak sugerowałaś - być może w czasie urlopu)

Notabene teraz definicja :

Zbiorem śladowym \(\displaystyle{ \overset {o} {X}_{Y}}\) nazywamy uporządkowaną parę zborów typu ZFC taką, że:

\(\displaystyle{ \overset {o} {X}_{Y} = \begin{cases} (X \backslash Y, Y), X \subset Y\\ (X, Y \backslash X), Y \subset X\\ (X, \emptyset), X = Y\\ (X, Y), X \cap Y = \emptyset\\\end{cases}}\)

Zbiór X nazywam tworzącym, zbiór Y śladem.

Co sądzicie o tej definicji, może można krócej ?

WNIOSEK: Zbiór śladowy jest zbiorem ZFC strukturyzowanym (OK ?) bo jest parą uporządkowaną..

Póki co zmierzam do sformułowania i udowodnienia twierdzenia o stratyfikacji w "chwilowej postaci" tj.:

Twierdzenie o stratyfikacji rysunek wygasł
\(\displaystyle{ \overset {o} {X}_{\overset {o} {Y}_{Z}} =?}\)

Pomożecie ?

dalej np. spróbować stworzyć teorię mnogości (aksjomatykę), w której Hipoteza Continuum jest fałszywa, ale nie poprzez dodanie jej zaprzeczenia do aksjomatów ZFC tylko czegoś prostszego (intuicyjnego aksjomatu ?)

Narzędzia

1. minds
2. Wolfram Mathematica with Matthew P. Szudzik package SetTheory.m
3. ...

[miodzio1988]

Twierdzenie o stratyfikacji
\(\displaystyle{ \overset {o} {X}_{\overset {o} {Y}_{Z}} =?}\)

Wydaje mi się , że pomocny tutaj bedzie ten link:
32360.htm
\(\displaystyle{ \overset {o} {X}_{\overset {o} {Y}_{Z}}= \int_{X}^{Y} Z dz}\)
To co stoi po prawej wytlumaczę przy nastepnej publikacji kolegi artbyte
Dowód


Mamy rownosc wiec potrzebujemy dwoch inkluzji.
\(\displaystyle{ \subseteq}\)
Pamietamy, że inkluzja to implikacja. Skorzystajmy więc z algebry Kubusia (patrz link), a dokladniej to z prawa Kubusia \(\displaystyle{ \neg p \neg > \neg q = p=>q}\)
gdzie \(\displaystyle{ \neg}\) jest implikacją Prosiaczka(niektorzy mowią, że to implikacja prosta), a nie negację
\(\displaystyle{ p \equiv W \in \overset {o} {X}_{\overset {o} {Y}_{Z}}}\)
\(\displaystyle{ q \equiv W \in \int_{X}^{Y} Z dz}\)
Zatem:
\(\displaystyle{ p \Rightarrow p \vee p \Rightarrow \neg p \Rightarrow \neg p \Rightarrow \neg q \Rightarrow \neg \infty p \wedge q \Rightarrow q}\)
\(\displaystyle{ \neg \infty}\) oznacza 3wymiarowy zbiór śladowy ktorego miara wynosi \(\displaystyle{ \infty}\). SKad wiemy, że taki zbior istnieje? Bo z aksjomatu wyboru oczywscie
Inkluzja w drugą stronę analogicznie.

artbyte dawaj wiecej takich ciekawych zadan Jesli widzisz jakis błąd w dowodzie to daj znac. ja tez kocham matematyke -- 13 marca 2010, 13:29 --

Notabene teraz definicja :

Zbiorem śladowym \(\displaystyle{ \overset {o} {X}_{Y}}\) nazywamy uporządkowaną parę zborów typu ZFC taką, że:

\(\displaystyle{ \overset {o} {X}_{Y} = \begin{cases} (X \backslash Y, Y), X \subset Y\\ (X, Y \backslash X), Y \subset X\\ (X, \emptyset), X = Y\\ (X, Y), X \cap Y = \emptyset\\\end{cases}}\)

Bardzo fajna definicja swoją drogą. \(\displaystyle{ X \backslash Y = \emptyset}\) u Ciebie z racji zawierania (patrz dwie pierwsze pary).

[artbyte]

użyłem znaku \(\displaystyle{ \subset}\) z braku (nie pamiętam kodu) znaku inkluzji bez równości, ale to
miałem na względzie i wtedy OK

[miodzio1988]

Lemat Mikiego:
Definicja jest do bani. Kontprzyklad:
\(\displaystyle{ X=\{1,2\}, Y=\{1,2,3\}}\)

Sprawdz taki zbiory. Moj dowod się podoba?;]

[artbyte]

Lemat Mikiego:
Definicja jest do bani. Kontprzyklad:
\(\displaystyle{ X=\{1,2\}, Y=\{1,2,3\}}\)

Sprawdz taki zbiory. Moj dowod się podoba?;]

Fajnie by było (ładny wzór), ale całka po zbiorach dyskretnych to nie jest banał ...(nieciągłość)

Widzę, że coś nie tak z definicją (brak wszystkich przypadków \(\displaystyle{ X \cap Y \neq \emptyset}\)
ale policzę to z tej niepełnej definicji: \(\displaystyle{ \overset {o} {X}_{Y} = \overset {o} {\{1,2\}}_{\{1,2,3\}} = \{1,2,(1,2,3)\} = \{1,2,(3)\}}\) bo to 2 warunek (zbiór tworzący zawiera się silnie w śladzie - legenda przerosła rzeczywistość ) niepełnej definicji (trzeba przedefiniować), ale dobra definicja jest blisko

Zbiorem śladowym \(\displaystyle{ \overset {o} {X}_{Y}}\) nazywamy uporządkowaną parę zbiorów typu ZFC taką, że:

\(\displaystyle{ \overset {o} {X}_{Y} = \begin{cases} (X, Y), X \cap Y = \emptyset\\ (X, \emptyset), X = Y \neq \emptyset\\ (X, Y \backslash X), X \neq \emptyset\\ (X \backslash Y, Y), Y \neq \emptyset\\ \end{cases}}\)

Zbiór X nazywam tworzącym, zbiór Y śladem.

[miodzio1988]

Fajnie by było (ładny wzór), ale całka po zbiorach dyskretnych to nie jest banał ...(nieciągłość)

Ale ta całka ma trochę inne znaczenie niż normalnie. Powinienes o tym wiedziec tworząc taką teorie;]

ale policzę to z tej niepełnej definicji

Nikt Ci chlopie nie kazal tego liczyc. Definicje zmien, bedziemy gadac. Mowilem juz , że bzdury straszne wypisujesz?

[artbyte]

NOTE: Każdy zbiór typu ZFC można traktować jako zbiór śladowy z pustym śladem:

\(\displaystyle{ \bigvee\limits_{\phi} \bigwedge\limits_{ \mathsf{ZFC (X)}} \phi : X \rightarrow X \times \{\emptyset \}}\)

PROOF: Z definicji zbioru śladowego, \(\displaystyle{ \phi(X) = \overset {o} {X}_{\emptyset}}\) FONT

1.
2. \(\displaystyle{ \rightarrow}\) [url=http://www.wolfram.com/products/player/]Mathematica Player[/url]

SOON: o działaniach na zbiorach śladowych itp. historie skandalizujące w matematyce

[miodzio1988]

PROOF: Z definicji zbioru śladowego,\(\displaystyle{ \phi(X) = \overset {o} {X}_{\emptyset}}\) FONT

Z tej definicji którą to miales poprawic? No niezle..

[artbyte]

Zbiorem śladowym \(\displaystyle{ \overset {o} {X}_{Y}}\) nazywamy uporządkowaną parę zbiorów typu ZFC taką, że:

\(\displaystyle{ \overset {o} {X}_{Y} = \begin{cases} (X, Y), X \cap Y = \emptyset\\ (X, \emptyset), X = Y \neq \emptyset\\ (X , Y \backslash X), X \neq Y \wedge X \cap Y \neq \emptyset\\ \end{cases}}\)

Zbiór X nazywam tworzącym, zbiór Y śladem.

[miki999]

A po co rozdzieliłeś na 3 warianty skoro wszystkie są równoważne warunkowi 3. bez tych założeń?

Lepiej będzie tak:
Zbiorem śladowym \(\displaystyle{ \overset {o} {X}_{Y}}\) dowolnych 2 niepustych zbiorów \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) nazywamy parę:
\(\displaystyle{ \overset {o} {X}_{Y}=(X , Y \setminus X)}\)
Gdzie zbiór \(\displaystyle{ X}\) nazywam tworzącym, a zbiór \(\displaystyle{ Y}\) śladem.


Z automatu dla \(\displaystyle{ X=Y}\) daje \(\displaystyle{ (X, \emptyset)}\) oraz \(\displaystyle{ (X, Y)}\) dla zbiorów rozłącznych.

[artbyte]

Słusznie, masz rację (zakałupciałem się ) tak jest prosto i o to chodzi.
Chodziło o to by zbiór tworzący "pochłaniał" ślad po nim.

dzięki

-- 16 marca 2010, 08:50 --

REMARK: Zbiorem rozmytym A w przestrzeni X jest zbiór uporządkowanych par:

\(\displaystyle{ A=\{(x, \mu_A(x))|x \in X\}}\), gdzie \(\displaystyle{ \mu_A\colon X \to [0,1]}\).

REMARK: \(\displaystyle{ \overset{o}{X}_{Y} = (X, Y \backslash X)}\)

NOTE: warto nad tym pomyśleć...

-- 17 marca 2010, 09:13 --

Zbiorem śladowym \(\displaystyle{ \overset {o} {X}_{Y}}\) nazywamy uporządkowaną parę zborów typu ZFC taką, że:

\(\displaystyle{ \overset {o} {X}_{Y} = (X \backslash Y, Y)}\)

zbiór X nazywamy tworzącym, zbiór Y nazywamy śladem.

tak,że \(\displaystyle{ \overset {o} {A}_{B} \oplus \overset {o} {B}_{\emptyset} = \overset {o} {A}_{\emptyset}}\)


NOTE: \(\displaystyle{ (X \backslash Y, Y) \neq (X, Y \backslash X)}\)

Prawostronną parą sprzężoną z działaniem \(\displaystyle{ \odot}\) nazywamy parę uporządkowaną
postaci \(\displaystyle{ (X, Y \odot X)}\) i oznaczamy \(\displaystyle{ (X,Y)^{\odot}}\)

Lewostronną parą sprzężoną z działaniem \(\displaystyle{ \odot}\) nazywamy parę uporządkowaną
postaci \(\displaystyle{ (X \odot Y, Y)}\) i oznaczamy \(\displaystyle{ ^{\odot}(X,Y)}\)

-- 17 marca 2010, 09:26 --

\(\displaystyle{ \uparrow}\) - (poprzedni post)

-- 17 marca 2010, 09:46 --

\(\displaystyle{ \oplus, \ominus, \cap}\)

-- 17 marca 2010, 13:58 --

Tw. o stratyfikacji

\(\displaystyle{ \overset {o}{X}_{\overset {o}{Y}_{Z}} =\{\overset {o}{X}_{\emptyset} , \overset {o}{Y}_{Z}\} = \{\overset {o}{X}_{\emptyset} , \overset {o}{Y}_{Z}\}^o_{\emptyset}}\)

PROOF: wprost z definicji zbioru śladowego oraz z definicji unormowania zbioru FONT -- 17 marca 2010, 15:47 --NOTE: \(\displaystyle{ {(\overset {o}{A}_B)}^o_{C}= \{\overset {o}{A}_B. (C)\}=\{\{A,(B)\}, (C)\}}\)

Q: Warto się teraz zastanowić co to znaczy: \(\displaystyle{ \overset {o}{A}_B = \overset {o}{C}_D}\) ?

A: z definicji: \(\displaystyle{ \overset {o}{A}_B= (A \backslash B, B) = (C \backslash D, D)}\), a więc wtedy z twierdzenia o równości par uporządkowanych:

\(\displaystyle{ \begin{cases}A \backslash B = C \backslash D\\B = D\\\end{cases}}\), więc wtw \(\displaystyle{ A = C \wedge B = D}\)

[xiikzodz]

Mam jedno pytanie. Po co to? Pomijając gimnastykę intelektualną rzecz jasna. Mam zbyt małą wiedzę, żeby służyć tu ekspertyzą na temat przydatności oraz zbyt mało czasu (niestety) na studiowanie formalizmu. Dlatego przydałby się zastrzyk motywacji w postaci jakiegoś zastosowania.

Póki co nie jest to nawet ślad jakiejś teorii matematycznej, lecz zabieg semantyczny przypominający zagadnienia teorii kompilatorów.

[artbyte]

Mam jedno pytanie. Po co to? Pomijając gimnastykę intelektualną rzecz jasna. Mam zbyt małą wiedzę, żeby służyć tu ekspertyzą na temat przydatności oraz zbyt mało czasu (niestety) na studiowanie formalizmu. Dlatego przydałby się zastrzyk motywacji w postaci jakiegoś zastosowania.

Póki co nie jest to nawet ślad jakiejś teorii matematycznej, lecz zabieg semantyczny przypominający zagadnienia teorii kompilatorów.

Witaj,

A po co stworzono np. Teorię Kształtu itp, mnie to interesuje. Ślad jest po tym co przeminęło, co było a, nie jest. Czysta matematyka po co ? Kto wie kiedy się przyda.
Motywacje: m.in. próba sformułowania aksjomatów TM, z których wynika rozstrzygalność CH
jak przeglądam literaturę tematu to cała problematyka kręcie się między innymi wokół tzw. wielkich
tematów i niezależnie od ich rozwiązania rozwija się własną inną problematykę. Inny wielki temat
TM to np. pewnik wyboru z którego wynika wiele paradoksów np. Tw. Banacha Tarskiego
o rozkładzie kuli.

Jeśli chodzi o ślad mojej teorii to jeszcze tej teorii nie opracowałem do końca, nawet dopiero zaczynam czyli jeszcze tej teorii nie ma, a więc śladu po tej teorii tym bardziej
ale tworzę.

Zastosowania: badania podstawowe, uprzedzenie redukcjonizmu w nauce i inne o których być może nie mamy pojęcia.

Zajmowanie się TM na swój sposób pozwala mi lepiej studiować przedmiot TM
Mam nadzieję, że nie sugerujesz, że kompiluję czyjąś pracę jest to moja autorska teoria
niech będzie zręby teorii, ale moje własne.

pozdrawiam

Łukasz

-- 29 marca 2010, 08:46 --

Immunologia ewolucyjna vs. biomatematyka w kontekście badań podstawowych dotyczących zbiorów śladowych.

Zastanawiam się nad użyciem koncepcji zbiorów śladowych \(\displaystyle{ \overset {o}X_Y}\) w badaniu zmienności szybkiego układu ewolucyjnego jakim jest układ odpornościowy w organizmach żywych.

Biomatematyka to nie tylko bioinformatyka (analiza statystyczna itp), ale w moim pojęciu
wzajemne przenikanie się takich dziedzin jak biologia i matematyka w sposób twórczy dla obu tych dziedzin nauki.

Podłożem życia jest . Na układ odpornościowy składają się odporność natywna (wrodzona) oraz odporność nabyta (swoista) cechująca się pamięcią immunologiczną. Tu być może widać pewną analogię między zbiorami śladowymi a limfocytami. Na razie jest to luźny związek. Chcę zrobić coś pożytecznego dla ludzi, zajmując się właśnie badaniami podstawowymi w zakresie TM.

Oczywiście nie zamierzam się specjalizować w immunologii klinicznej bo to mogłoby nie wyjść na dobre pacjentom . Immunologia ewolucyjna ma stanowić dla mnie framework badawczy (sic).

-- 30 marca 2010, 06:25 --

Literatura wprowadzająca w zagadnienia immunologii:

1. S. Rose, S. Bullock "Chemia życia" WNT
2. E.H. White "Zarys chemii dla przyrodników" PWN
3.P. M. Lydyard "Krótkie wykłady - Immunologia" PWN

Dane doświadczalne:

1.
2. konsultacje z IZUJ Zakład Immunobiologii Ewolucyjnej

-- 30 marca 2010, 07:07 --

do namysłu:

1. Multidisciplinary Program in Immunology

-- 30 marca 2010, 07:39 --

coś jeszcze, inspiracja prometejski_sen_medycyny

-- 31 marca 2010, 05:25 --

return to main thread:

rysunek wygasł - Mathematica player format

[artbyte]

czekam na literaturę (na dostawę ):

1. Paul J. Cohen "Set Theory and the Continuum Hypothesis"


-- 10 kwietnia 2010, 08:25 --

w przypadku zbiorów śladowych właściwych \(\displaystyle{ \overset {o}{A_B} \subsetneq \overset {o}{C_D}}\)

-- 12 kwietnia 2010, 09:46 --

Zauważam związek między zbiorami śladowymi, a miejscami zerowymi funkcji, w szczególności
z miejscami zerowymi wielomianów, dalej z teorią węzłów w konsekwencji wynikającej z teorii włókien, a to ma związek z formowaniem się centrów aktywacyjnych enzymów. Nawiasem mówiąc Hipoteza Riemanna też się z tym wiąże.
Są to daleko idące analogie, które dostrzegam na swoich ścieżkach rozumowań.

-- 12 kwietnia 2010, 10:14 --

i tak dążę do udowodnienia zaprzeczenia Hipotezy Continuum poprzez odpowiedni dobór aksjomatów. W nauce nie można planować sukcesów, owszem należy planować eksperymenty, programy badawcze lecz ich wyników nie można narzucać arbitralnie (sic).
Można, należy posługiwać się intuicją, ogólnym rozeznaniem, wyczuciem itp. np. do formułowania twierdzeń, które trzeba udowadniać m.in. korzystając z analogii i różnych sposobów konstrukcji dowodu.
Jest to elementarny warsztat matematyka.

-- 12 kwietnia 2010, 10:34 --

Let's play an experiment \(\displaystyle{ \rightarrow}\) please use free Mathematica Player

-- 12 kwietnia 2010, 10:52 --

Q: How many zeros of Riemann zeta function \(\displaystyle{ \zeta(s)}\) lie on the "critical line" \(\displaystyle{ \sigma=R[s]=1/2}\) (where \(\displaystyle{ R[s]}\) denotes the real part of s). I supose that cardinality of set of those zeros is \(\displaystyle{ \aleph_0}\). But maybe I am in an error ?

-- 14 kwietnia 2010, 07:33 --

Dodawanie zbiorów śladowych:
\(\displaystyle{ \overset {o}X_Y \oplus \overset {o}Z_V = \{X \cup Z, \{(V \backslash X) \cup (Z \backslash Y)\}\} = \overset {o}{(X \cup Z)}_{(V \backslash X) \cup (Z \backslash Y)}}\)

[artbyte]

Paul Cohen O hipotezie continuum

"Autor [Cohen] sądzi, że domniemanie CH zostanie w przyszłości uznane za jawnie fałszywe. Główną przyczyną dla której przyjmuje się aksjomat nieskończoności jest chyba odczucie, że jest absurdem aby dodawanie jednego zbioru po drugim mogło wyczerpać cały wszechświat. Podobnie jest z wyższymi aksjomatami nieskończoności. Tak więc \(\displaystyle{ \aleph_1}\) jest zbiorem przeliczalnych liczb porządkowych i jest to zaledwie szczególny i najprostszy sposób generowania wyższych liczb porządkowych. Zbiór\(\displaystyle{ \mathfrak{c}}\) [ continuum ] jest natomiast generowany za pomocą zupełnie nowej i o wiele mocniejszej zasady, mianowicie aksjomatu zbioru potęgowego. Jest nierozsądnym sądzić aby jakikolwiek opis wyższych liczb porządkowych próbujący je za pomocą idei pochodnych schematowi aksjomatów zastąpienia mógł osiągnąć \(\displaystyle{ \mathfrak{c}.}\) Tak więc \(\displaystyle{ \mathfrak{c}}\) jest większe niż \(\displaystyle{ \aleph_n, \aleph_\omega, \aleph_a,}\) gdzie \(\displaystyle{ a = \aleph_\omega,}\)itd. Ten pogląd postrzega \(\displaystyle{ \mathfrak{c}}\)jako niesłychanie bogaty zbiór, który otrzymujemy dzięki jednemu znaczącemu aksjomatowi, który nie może zostać nigdy osiągnięty jakimkolwiek sposobem konstrukcji kawałek po kawałku. Może następne generacje będą widziały to zagadnienie jaśniej i będą potrafiły wysłowić się bardziej elokwentnie."

Cohen, P. Set Theory and the Continuum Hypothesis p. 151.

Nie czuję się, żadnym następcą, tym bardziej tą następną generacją po Paul'u Cohenie w sensie kompetencji matematycznych, tym nie mniej myślimy o tym samym

Mój pomysł, jeden z pomysłów opiera się na "sprytnym" przesiewaniu \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\)

"obiecanki cacanki..." - słuchaj - to jest, na tym polega nauka by szukać nie oszukiwać ...
choćby na ten przykład nawet samego siebie ... choć bywa to trudne

Zauważmy, że w konstrukcji zbioru Cantor'a, zapomnieliśmy o tym co wyrzuciliśmy.
Zapamiętajmy to co wyrzuciliśmy na innym stopniu hierarchii zbiorów, mało tego skonstruujmy
konkretną kombinację na śladowej prostej ... kto wie może coś z tego wyjdzie ...
nie zając, nie żabka ale a nóż, widelec to o co chodzi ...

-- 16 kwietnia 2010, 08:41 --

no i pamiętaj kokos, że są jeszcze inne aksjomaty do "przerobienia"

Ewaluacja aksjomatyk to miała być (jest ?) moja teoria przekraczająca systemy dedukcyjne...

meta-meta-...- matematyka

zaduma... :roll: dym, popioły wulkanu, co dalej ...?

Literatura:

1. Paul Cohen "Set Theory and the Continuum Hypothesis"
2. Wojciech Guzicki, Paweł Zbierski "Podstawy teorii mnogości"
3. John Derbyshire "Obsesja liczb pierwszych..."

-- 22 kwietnia 2010, 06:35 --

NOTE: urodziny

-- 22 kwietnia 2010, 07:51 --

Sądzę, przypuszczam "mało skromnie" że zbiory śladowe "mogą zrobić karierę" podobną do - kwestia czasu ...