Matematyka.pl

Proszę o pomoc w rozwiązaniu następującego zadania:
Dokonać rozdzielenia zmiennych w równaniu \(\displaystyle{ \sqrt{x} y'- y^{2}=1}\) i scałkować je.

Rozdzieliłam zmienne w taki sposób:
\(\displaystyle{ \frac{dy}{1+ y^{2}}= \frac{dx}{ \sqrt{x} }}\)
Czy jest to dobrze? Jak wygląda to równania po scałkowaniu? Bardzo proszę o pomoc

Bardzo nieporządnie (ale łatwiej dla zrozumienia idei) jest scałkować otrzymaną równość, po czym otrzymujemy \(\displaystyle{ \int\frac{dy}{y^2+1}=\int\frac{dx}{\sqrt{x}}+C}\), gdzie \(\displaystyle{ C\in\mathbb{R}}\) jest pewną stałą.
Mamy wobec tego \(\displaystyle{ \arctan y=2\sqrt{x}+C}\) i teraz zakładając, że \(\displaystyle{ x>0}\) oraz \(\displaystyle{ -\frac{\pi}{2}<2\sqrt{x}+C<\frac{\pi}{2}}\) dostajemy rozwiązanie \(\displaystyle{ y=\tg(2\sqrt{x}+C)}\).