Proszę o pomoc w rozwiązaniu następującego zadania:
Dokonać rozdzielenia zmiennych w równaniu \(\displaystyle{ \sqrt{x} y'- y^{2}=1}\) i scałkować je.
Rozdzieliłam zmienne w taki sposób:
\(\displaystyle{ \frac{dy}{1+ y^{2}}= \frac{dx}{ \sqrt{x} }}\)
Czy jest to dobrze? Jak wygląda to równania po scałkowaniu? Bardzo proszę o pomoc
Rozdzielić zmienne i scałkować równanie
-
- Użytkownik
- Posty: 80
- Rejestracja: 28 sie 2008, o 14:52
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: CK
- Podziękował: 30 razy
Rozdzielić zmienne i scałkować równanie
Ostatnio zmieniony 12 mar 2010, o 14:07 przez lukasz1804, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
- Użytkownik
- Posty: 4438
- Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 1313 razy
Rozdzielić zmienne i scałkować równanie
Bardzo nieporządnie (ale łatwiej dla zrozumienia idei) jest scałkować otrzymaną równość, po czym otrzymujemy \(\displaystyle{ \int\frac{dy}{y^2+1}=\int\frac{dx}{\sqrt{x}}+C}\), gdzie \(\displaystyle{ C\in\mathbb{R}}\) jest pewną stałą.
Mamy wobec tego \(\displaystyle{ \arctan y=2\sqrt{x}+C}\) i teraz zakładając, że \(\displaystyle{ x>0}\) oraz \(\displaystyle{ -\frac{\pi}{2}<2\sqrt{x}+C<\frac{\pi}{2}}\) dostajemy rozwiązanie \(\displaystyle{ y=\tg(2\sqrt{x}+C)}\).
Mamy wobec tego \(\displaystyle{ \arctan y=2\sqrt{x}+C}\) i teraz zakładając, że \(\displaystyle{ x>0}\) oraz \(\displaystyle{ -\frac{\pi}{2}<2\sqrt{x}+C<\frac{\pi}{2}}\) dostajemy rozwiązanie \(\displaystyle{ y=\tg(2\sqrt{x}+C)}\).