[MIX] Mix matematyczny (26)
: 18 lut 2010, o 19:43
1. Załóżmy że \(\displaystyle{ a, b, c, d}\) są to liczby rzeczywiste. Wykaż, że układ
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} a^2+b^2=2\\c^2+d^2=2\\ac=bd \end{array}\right.}\)
i układ
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} a^2+c^2=2\\b^2+d^2=2\\ab=cd \end{array}\right.}\)
są równoważne.
2. Dobierz tak stałą \(\displaystyle{ k}\) tak aby wielomian
\(\displaystyle{ P(x,y,z)= x^5+y^5+z^5 + k(x^3+y^3+z^3)(x^2+y^2+z^2)}\) miał w rozkładzie na czynniki
dzielnik \(\displaystyle{ x+y+z}\). I dalej wykaż, że dla tak dobranej \(\displaystyle{ k}\), \(\displaystyle{ P(x,y,z)}\) ma dzielnik \(\displaystyle{ (x+y+z)^2.}\)
3. Niech \(\displaystyle{ r}\) będzie liczbą wymierną wziętą jako przybliżenie \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\). Wykaż że wtedy liczba \(\displaystyle{ \frac{r+2}{r+1}}\) jeszcze lepiej przybliża \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\). Czy to samo będzie prawdą dla \(\displaystyle{ \sqrt[3]{2}}\) ?
4. Niech \(\displaystyle{ a_n}\) będzie rosnącym ciągiem liczb naturalnym takim że \(\displaystyle{ a_{2n}=a_n +n}\) dla \(\displaystyle{ n \geq 1}\) i takim że jeśli \(\displaystyle{ a_n}\) jest liczbą pierwszą, to \(\displaystyle{ n}\) też jest liczba pierwsza. Wykaż, że \(\displaystyle{ a_n=n}\) dla \(\displaystyle{ n \geq 1}\)
5. Niech \(\displaystyle{ n>3}\). Uzasadnij poniższy wzór i podaj jego interpretację kombinatoryczną
\(\displaystyle{ {{n \choose 2} \choose 2 }=3 {n+1 \choose 4}.}\)
6. Ciąg \(\displaystyle{ b_n}\) jest określony rekurencją, tj. \(\displaystyle{ b_0=1}\) i
\(\displaystyle{ b_{n+1}=\frac{b_n}{1+nb_n}}\) dla \(\displaystyle{ n=0, 1, 2,..}\). Oblicz \(\displaystyle{ b_{2010}.}\)
7. Na płaszczyźnie leży \(\displaystyle{ 2n+3}\) punktów, tak iż żadne trzy nie leża na jednej prostej i żadne cztery na jednym okręgu. Wykaż, że wtedy można narysować okrąg przechodzący przez trzy z tych punktów, tak iż z pozostałych \(\displaystyle{ 2n}\) punktów dokładnie \(\displaystyle{ n}\) leży wewnątrz tego okręgu a \(\displaystyle{ n}\) pozostałych na zewnątrz tegoż okregu.
8. Niech \(\displaystyle{ P(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+....+a_nx^n}\) będzie wielomianem takim że \(\displaystyle{ 0 \leq a_i \leq a_0}\) dla \(\displaystyle{ i=1,2, ...,n}\). I niech \(\displaystyle{ Q(x)=P(x)^2=b_0+b_1x+b_2x^2+....+b_{2n}x^{2n}}\). Wykaż, że \(\displaystyle{ b_{n+1} \leq \frac{1}{2}P(1)^2.}\)
9. a Oblicz pole obszaru (w \(\displaystyle{ \RR^2}\)): \(\displaystyle{ F_1 = \{(x,y): |x|+ |y|+ |x+y| \leq 2 \}.}\)
b Oblicz objętość figury (w \(\displaystyle{ \RR^3}\)): \(\displaystyle{ F_1 = \{(x,y,z): |x|+ |y|+|z|+ |x+y+z| \leq 2 \}.}\)
Podaj rachunki i rysunki.
10. Wykaż, ze jeśli
\(\displaystyle{ \frac{a}{bc-a^2}+ \frac{b}{ac-b^2}+ \frac{c}{ab-c^2}=0,}\)
to
\(\displaystyle{ \frac{a}{(bc-a^2)^2}+ \frac{b}{(ac-b^2)^2}+ \frac{c}{(ab-c^2)^2}=0}\)
gdy \(\displaystyle{ a,b,c \in \RR.}\)
Powodzenia
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} a^2+b^2=2\\c^2+d^2=2\\ac=bd \end{array}\right.}\)
i układ
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} a^2+c^2=2\\b^2+d^2=2\\ab=cd \end{array}\right.}\)
są równoważne.
2. Dobierz tak stałą \(\displaystyle{ k}\) tak aby wielomian
\(\displaystyle{ P(x,y,z)= x^5+y^5+z^5 + k(x^3+y^3+z^3)(x^2+y^2+z^2)}\) miał w rozkładzie na czynniki
dzielnik \(\displaystyle{ x+y+z}\). I dalej wykaż, że dla tak dobranej \(\displaystyle{ k}\), \(\displaystyle{ P(x,y,z)}\) ma dzielnik \(\displaystyle{ (x+y+z)^2.}\)
3. Niech \(\displaystyle{ r}\) będzie liczbą wymierną wziętą jako przybliżenie \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\). Wykaż że wtedy liczba \(\displaystyle{ \frac{r+2}{r+1}}\) jeszcze lepiej przybliża \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\). Czy to samo będzie prawdą dla \(\displaystyle{ \sqrt[3]{2}}\) ?
4. Niech \(\displaystyle{ a_n}\) będzie rosnącym ciągiem liczb naturalnym takim że \(\displaystyle{ a_{2n}=a_n +n}\) dla \(\displaystyle{ n \geq 1}\) i takim że jeśli \(\displaystyle{ a_n}\) jest liczbą pierwszą, to \(\displaystyle{ n}\) też jest liczba pierwsza. Wykaż, że \(\displaystyle{ a_n=n}\) dla \(\displaystyle{ n \geq 1}\)
5. Niech \(\displaystyle{ n>3}\). Uzasadnij poniższy wzór i podaj jego interpretację kombinatoryczną
\(\displaystyle{ {{n \choose 2} \choose 2 }=3 {n+1 \choose 4}.}\)
6. Ciąg \(\displaystyle{ b_n}\) jest określony rekurencją, tj. \(\displaystyle{ b_0=1}\) i
\(\displaystyle{ b_{n+1}=\frac{b_n}{1+nb_n}}\) dla \(\displaystyle{ n=0, 1, 2,..}\). Oblicz \(\displaystyle{ b_{2010}.}\)
7. Na płaszczyźnie leży \(\displaystyle{ 2n+3}\) punktów, tak iż żadne trzy nie leża na jednej prostej i żadne cztery na jednym okręgu. Wykaż, że wtedy można narysować okrąg przechodzący przez trzy z tych punktów, tak iż z pozostałych \(\displaystyle{ 2n}\) punktów dokładnie \(\displaystyle{ n}\) leży wewnątrz tego okręgu a \(\displaystyle{ n}\) pozostałych na zewnątrz tegoż okregu.
8. Niech \(\displaystyle{ P(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+....+a_nx^n}\) będzie wielomianem takim że \(\displaystyle{ 0 \leq a_i \leq a_0}\) dla \(\displaystyle{ i=1,2, ...,n}\). I niech \(\displaystyle{ Q(x)=P(x)^2=b_0+b_1x+b_2x^2+....+b_{2n}x^{2n}}\). Wykaż, że \(\displaystyle{ b_{n+1} \leq \frac{1}{2}P(1)^2.}\)
9. a Oblicz pole obszaru (w \(\displaystyle{ \RR^2}\)): \(\displaystyle{ F_1 = \{(x,y): |x|+ |y|+ |x+y| \leq 2 \}.}\)
b Oblicz objętość figury (w \(\displaystyle{ \RR^3}\)): \(\displaystyle{ F_1 = \{(x,y,z): |x|+ |y|+|z|+ |x+y+z| \leq 2 \}.}\)
Podaj rachunki i rysunki.
10. Wykaż, ze jeśli
\(\displaystyle{ \frac{a}{bc-a^2}+ \frac{b}{ac-b^2}+ \frac{c}{ab-c^2}=0,}\)
to
\(\displaystyle{ \frac{a}{(bc-a^2)^2}+ \frac{b}{(ac-b^2)^2}+ \frac{c}{(ab-c^2)^2}=0}\)
gdy \(\displaystyle{ a,b,c \in \RR.}\)
Powodzenia