Matematyka.pl

\(\displaystyle{ \int_{ln3}^{ln8} \frac{dx}{ \sqrt{e ^{x} +1} }}\)
po przekształceniach doszedłem do postaci \(\displaystyle{ ln \left|t-1 \right|-ln \left|t+1 \right| \int_{ln3}^{ln8}}\) i co dalej?

wychodzi postać : \(\displaystyle{ ln \left( \left|ln8-1 \right| \right)-ln \left( \left|ln8+1 \right| \right) -ln \left( \left|ln3-1 \right| \right)+ln \left( \left| ln3+1\right| \right)}\)
jak to się jeszcze uprości?

Coś tu namieszałeś. Jak rozwiązałeś tą całkę? Przez podstawienie? No to dla granic całkowania też trzeba zrobić podstawienie, prawda? Rozwiąż jeszcze raz od nowa.

Pozdrawiam.

\(\displaystyle{ \int_{ln3}^{ln8} \frac{dx}{ \sqrt{e ^{x} +1} }}\)
\(\displaystyle{ e ^{x} +1=t ^{2}}\) \(\displaystyle{ t= \sqrt{e ^{x} +1}}\)
\(\displaystyle{ t ^{2}= ^{} e ^{x} +1}\) i pochodna z tego \(\displaystyle{ 2tdt=e ^{x}dx}\)
\(\displaystyle{ dx= \frac{2tdt}{e ^{x} }}\) ,a \(\displaystyle{ e ^{x}=t ^{2} -1}\) więc

\(\displaystyle{ dx= \frac{2tdt}{t ^{2}-1 }}\) no i

\(\displaystyle{ \int_{ln3}^{ln8} \frac{ \frac{2tdt}{t ^{2} -1} }{t} = \int_{ln3}^{ln8 \frac{2dt}{t ^{2}-1}}\)

a \(\displaystyle{ \frac{2}{t ^{2} -1} = \frac{1-1}{ \left( t-1\right) \left( t+1\right) } = \frac{1}{t-1} - \frac{1}{t+1}}\)

wi ęc \(\displaystyle{ \int_{ln3}^{ln8} \frac{1}{t-1} - \int_{ln3}^{ln8} \frac{1}{t+1}}\)

no i dalej tak mi wyszło jak wyżej

Zapominasz o zmianie granic całkowania.

czyli?

Masz całkę \(\displaystyle{ \int_{a}^{b}}\) i dokonujesz jakiegoś podstawienia \(\displaystyle{ t(x)}\) to granice musisz zmienić na \(\displaystyle{ \int_{t(a)}^{t(b)}}\)

Zrobiłeś to samo co przedtem, to Ci to samo wyszło

\(\displaystyle{ t ^{2}= ^{} e ^{x} +1 \ \Rightarrow \\ x=\ln 3\ \Rightarrow t=\sqrt{e^{ln3}+1}=2\\ x=\ln 8\ \Rightarrow t=3}\)

Pozdrawiam.

\(\displaystyle{ e^{ln3} =3}\), \(\displaystyle{ e ^{ln8} =8}\) ?

z jakiego to wzoru?

więc granice całkowania dla t to będzie od 4 do 9?-- 3 lut 2010, o 15:15 --znaczy 2 i 3... to jaki bedzie wynik końcowy?

A to z definicji logarytmu.

Całkę obliczyłeś dobrze (tylko tam ma być 2=1+1), wstawiasz teraz granice całkowania i będzie OK.

\(\displaystyle{ \left.ln \left|t-1 \right|-ln \left|t+1 \right|\right|\limits_2^3=ln2-ln4-ln1+ln3=ln\frac{3}{2}}\)

Pozdrawiam.

jeszcze jedna podpowiedź skąd się wzięło ln\(\displaystyle{ \frac{3}{2}}\)

jak to jest liczone

Z własności logarytmów - suma logarytmów (o tej samej podstawie) jest równa logarytmowi iloczynu, a różnica - logarytmowi ilorazu.

Pozdrawiam.

darecki, proponowałbym zajrzeć do logarytmów, bo kiepsko...

\(\displaystyle{ \log_ca - \log_cb = \log_c \frac{a}{b} \\ \log_ca + \log_cb = \log_ca\cdot b \\ b^{\log_b a} = a}\)

fakt ....banał