całka oznaczona

darecki · Post autor: **darecki** » 3 lut 2010, o 14:15

\(\displaystyle{ \int_{ln3}^{ln8} \frac{dx}{ \sqrt{e ^{x} +1} }}\)
po przekształceniach doszedłem do postaci \(\displaystyle{ ln \left|t-1 \right|-ln \left|t+1 \right| \int_{ln3}^{ln8}}\) i co dalej?

wychodzi postać : \(\displaystyle{ ln \left( \left|ln8-1 \right| \right)-ln \left( \left|ln8+1 \right| \right) -ln \left( \left|ln3-1 \right| \right)+ln \left( \left| ln3+1\right| \right)}\)
jak to się jeszcze uprości?

BettyBoo · Post autor: **BettyBoo** » 3 lut 2010, o 14:19

Coś tu namieszałeś. Jak rozwiązałeś tą całkę? Przez podstawienie? No to dla granic całkowania też trzeba zrobić podstawienie, prawda? Rozwiąż jeszcze raz od nowa.

Pozdrawiam.

darecki · Post autor: **darecki** » 3 lut 2010, o 14:37

\(\displaystyle{ \int_{ln3}^{ln8} \frac{dx}{ \sqrt{e ^{x} +1} }}\)
\(\displaystyle{ e ^{x} +1=t ^{2}}\) \(\displaystyle{ t= \sqrt{e ^{x} +1}}\)
\(\displaystyle{ t ^{2}= ^{} e ^{x} +1}\) i pochodna z tego \(\displaystyle{ 2tdt=e ^{x}dx}\)
\(\displaystyle{ dx= \frac{2tdt}{e ^{x} }}\) ,a \(\displaystyle{ e ^{x}=t ^{2} -1}\) więc

\(\displaystyle{ dx= \frac{2tdt}{t ^{2}-1 }}\) no i

\(\displaystyle{ \int_{ln3}^{ln8} \frac{ \frac{2tdt}{t ^{2} -1} }{t} = \int_{ln3}^{ln8 \frac{2dt}{t ^{2}-1}}\)

a \(\displaystyle{ \frac{2}{t ^{2} -1} = \frac{1-1}{ \left( t-1\right) \left( t+1\right) } = \frac{1}{t-1} - \frac{1}{t+1}}\)

wi ęc \(\displaystyle{ \int_{ln3}^{ln8} \frac{1}{t-1} - \int_{ln3}^{ln8} \frac{1}{t+1}}\)

no i dalej tak mi wyszło jak wyżej

Post autor: **Nakahed90** » 3 lut 2010, o 14:44

Zapominasz o zmianie granic całkowania.

darecki · Post autor: **darecki** » 3 lut 2010, o 14:51

czyli?

Post autor: **Nakahed90** » 3 lut 2010, o 14:53

Masz całkę \(\displaystyle{ \int_{a}^{b}}\) i dokonujesz jakiegoś podstawienia \(\displaystyle{ t(x)}\) to granice musisz zmienić na \(\displaystyle{ \int_{t(a)}^{t(b)}}\)

BettyBoo · Post autor: **BettyBoo** » 3 lut 2010, o 14:55

Zrobiłeś to samo co przedtem, to Ci to samo wyszło

\(\displaystyle{ t ^{2}= ^{} e ^{x} +1 \ \Rightarrow \\ x=\ln 3\ \Rightarrow t=\sqrt{e^{ln3}+1}=2\\ x=\ln 8\ \Rightarrow t=3}\)

Pozdrawiam.

darecki · Post autor: **darecki** » 3 lut 2010, o 15:09

\(\displaystyle{ e^{ln3} =3}\), \(\displaystyle{ e ^{ln8} =8}\) ?

z jakiego to wzoru?

więc granice całkowania dla t to będzie od 4 do 9?-- 3 lut 2010, o 15:15 --znaczy 2 i 3... to jaki bedzie wynik końcowy?

BettyBoo · Post autor: **BettyBoo** » 3 lut 2010, o 15:23

A to z definicji logarytmu.

Całkę obliczyłeś dobrze (tylko tam ma być 2=1+1), wstawiasz teraz granice całkowania i będzie OK.

\(\displaystyle{ \left.ln \left|t-1 \right|-ln \left|t+1 \right|\right|\limits_2^3=ln2-ln4-ln1+ln3=ln\frac{3}{2}}\)

Pozdrawiam.

darecki · Post autor: **darecki** » 3 lut 2010, o 15:30

jeszcze jedna podpowiedź skąd się wzięło ln\(\displaystyle{ \frac{3}{2}}\)

jak to jest liczone

BettyBoo · Post autor: **BettyBoo** » 3 lut 2010, o 15:32

Z własności logarytmów - suma logarytmów (o tej samej podstawie) jest równa logarytmowi iloczynu, a różnica - logarytmowi ilorazu.

Pozdrawiam.

Post autor: **M Ciesielski** » 3 lut 2010, o 15:34

darecki, proponowałbym zajrzeć do logarytmów, bo kiepsko...

\(\displaystyle{ \log_ca - \log_cb = \log_c \frac{a}{b} \\ \log_ca + \log_cb = \log_ca\cdot b \\ b^{\log_b a} = a}\)

darecki · Post autor: **darecki** » 3 lut 2010, o 15:44

fakt ....banał