Matematyka.pl

Z podzielności \(\displaystyle{ 3|(m+3)^{n}+1 \Rightarrow (m+3)^{n}+1 \equiv m^{n}+1 \equiv 0 \pmod{3} \Leftrightarrow m^{n}\equiv 2 \pmod{3}}\) Co jest możliwe tylko dla \(\displaystyle{ m\equiv 2 \pmod{3} \ i \ n\equiv 1 \pmod{2}}\) liczbę \(\displaystyle{ m}\) można przestawić w formie \(\displaystyle{ m= 2^{i}k , \ gdzie \ 2\nmid k \ oraz \ k,i \in Z}\) Zauważmy, że wtedy jest spełniona podzielność \(\displaystyle{ 2^{i}|(2^{i}k+3)^{n}+1 \Leftrightarrow 2^{i}|3^{n}+1}\) jeśli \(\displaystyle{ i \ge 3}\) to z tej podzielności wynika podzielność \(\displaystyle{ 2^{3}|3^{n}+1}\) jednak \(\displaystyle{ n}\) jest nieparzyste, więc \(\displaystyle{ n=2l+1 \ \ 3^{2l+1}+1\equiv 9^{l}3+1\equiv 1^{l}3+1\equiv 4 \pmod{8}}\) sprzeczność, bo miało przystawać do zera.co oznacza, że \(\displaystyle{ i \le 2}\) Rozważmy przypadki
1) \(\displaystyle{ i=0}\)
\(\displaystyle{ m=k \equiv 1 \pmod{2} \Leftrightarrow (m+3)^{n}+1\equiv(1+3)^{n}+1\equiv 1 \pmod{2}}\) Licznik i mianownik nie podzielne są przez 2, więc zgadza się
2)\(\displaystyle{ i=1}\)
\(\displaystyle{ m=2k\equiv 2 \pmod{4} \Rightarrow (m+3)^{n}+1\equiv (2+3)^{n}+1\equiv 1^{n}+1\equiv 2\pmod 4}\) licznik i mianownik są podzielne przez 2 i nie podzielne przez 4, więc zgadza się z tezą zadania
3)\(\displaystyle{ i=2}\)
\(\displaystyle{ m=4k\equiv 4 \pmod{8}}\) Tutaj musimy wykorzystać podzielność \(\displaystyle{ k|(4k+3)^n+1 \Leftrightarrow k|3^{n}+1}\) otrzymaliśmy wcześniej \(\displaystyle{ 2\equiv m\equiv 4k\equiv k\pmod{3}}\)
Rozważmy dzielnik pierwszy \(\displaystyle{ p\equiv 2\pmod{3}\oraz \ p>2}\) liczby \(\displaystyle{ 3^{n}+1}\) Wykażę, że taki dzielnik nie istnieje. Teraz wykorzystamy reszt kwadratowe do sprowadzenia do sprzeczności \(\displaystyle{ \left( \frac{3^{n}}{p} \right)=\left( \frac{-1}{p} \right)=(-1)^{\frac{p-1}{2}}}\) Z drugiej strony mamy \(\displaystyle{ \left(\frac{ 3^{n}}{p}\right)=\left( \frac{3}{p} \right)^{n}=\left( \frac{3}{p}\right)^{2l+1}=1 \cdot \left( \frac{3}{p}\right)=\left(\frac{p}{3} \right)(-1)^{\frac{(3-1)(p-1)}{4}}=\left( \frac{2}{3}\right) (-1)^{\frac{p-1}{2}}=(-1)^{\frac{p-1}{2}+1}}\)
co prowadzi do sprzeczności,bo \(\displaystyle{ 1 \neq (-1)}\). Oznacza to, że wszystkie nieparzyste dzielniki pierwsze \(\displaystyle{ q\equiv 1\pmod{3}}\), więc każdy nieparzysty dzielnik liczby \(\displaystyle{ 3^{n}+1}\) musi przystawać \(\displaystyle{ 1 \pmod{3}}\), a liczba \(\displaystyle{ k\equiv 2\pmod{3} \ 2\nmid k}\) musi dzielić tą liczbę. Sprzecznść. Co kończy dowód.