Matematyka.pl

Witam,

Niedawno zaczęłam równania różniczkowe, jednak nie mogę zrozumieć jednego przykładu. Przykład opisuje rozwiązywanie równania różniczkowego typu jednorodnego przez podstawianie, oto on:

Rozwiążmy równanie:
\(\displaystyle{ xy'=yln( \frac{y}{x} )}\)

dzieląc obydwie strony przez x mamy:
\(\displaystyle{ y'= \frac{y}{x}ln( \frac{y}{x} )}\)

stosując podstawienie \(\displaystyle{ u=\frac{y}{x}}\) mamy:
\(\displaystyle{ u+xu'=ulnu}\)

rozdzielając zmienne dostajemy:
\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{du}{u}(lnu-1) = \int_{}^{} \frac{dx}{x}}\)

skąd \(\displaystyle{ ln(lnu-1)=lnx+lnC}\) oraz \(\displaystyle{ lnu-1=Cx}\), Oznacza to, że:
\(\displaystyle{ lnu=ln( \frac{y}{x} )=Cx+1 oraz \frac{y}{x}=e ^{Cx+1}}\)

Nie rozumiem skąd wyliczono \(\displaystyle{ lnu-1=Cx}\), czy ktoś mógł by mi to wyjaśnić ?

Ponadto nie bardzo rozumiem jak rozdzielono zmienne w tym przykładzie.

Po rozdzieleniu zmiennych powinno być \(\displaystyle{ \int\frac{du}{u(\ln u-1)}=\int\frac{dx}{x}}\). Stąd \(\displaystyle{ \ln(\ln u-1)=\ln x+C_1}\). Przyjmując \(\displaystyle{ C_1=\ln C}\) dla pewnego \(\displaystyle{ C>0}\), mamy \(\displaystyle{ \ln(\ln u-1)=\ln x+\ln C}\), więc z twierdzenia o sumie logarytmów jest \(\displaystyle{ \ln(\ln u-1)=\ln(Cx)}\). Z różnowartościowości funkcji logarytmicznej dostajemy teraz \(\displaystyle{ \ln u-1=Cx}\).

No tak, najprostsze rzeczy są najtrudniejsze . Bardzo dziękuję, nie mogę sobie poradzić jeszcze z jednym przykładem, mianowicie, obliczyłam już całkę:
\(\displaystyle{ \int\frac{duu}{2- 1 - u^2 } = \int \frac{dx}{x}}\)

co dało mi:
\(\displaystyle{ -\frac{1}{2} ln \left| 1-u^2 \right| =ln \left| x \right| +ln|C|}\)

Jak z powyższego równania wyznaczyć \(\displaystyle{ y}\) ? Próbowałam sama, ale otrzymywałam błędny wynik, prawidłowy wynik to: \(\displaystyle{ y=x+Ce ^{ \frac{x}{y-x} }}\) - a przynajmniej tak jest w odpowiedzi.

Dziękuję.