Niedawno zaczęłam równania różniczkowe, jednak nie mogę zrozumieć jednego przykładu. Przykład opisuje rozwiązywanie równania różniczkowego typu jednorodnego przez podstawianie, oto on:
skąd \(\displaystyle{ ln(lnu-1)=lnx+lnC}\) oraz \(\displaystyle{ lnu-1=Cx}\), Oznacza to, że: \(\displaystyle{ lnu=ln( \frac{y}{x} )=Cx+1 oraz \frac{y}{x}=e ^{Cx+1}}\)
Nie rozumiem skąd wyliczono \(\displaystyle{ lnu-1=Cx}\), czy ktoś mógł by mi to wyjaśnić ?
Ponadto nie bardzo rozumiem jak rozdzielono zmienne w tym przykładzie.
Po rozdzieleniu zmiennych powinno być \(\displaystyle{ \int\frac{du}{u(\ln u-1)}=\int\frac{dx}{x}}\). Stąd \(\displaystyle{ \ln(\ln u-1)=\ln x+C_1}\). Przyjmując \(\displaystyle{ C_1=\ln C}\) dla pewnego \(\displaystyle{ C>0}\), mamy \(\displaystyle{ \ln(\ln u-1)=\ln x+\ln C}\), więc z twierdzenia o sumie logarytmów jest \(\displaystyle{ \ln(\ln u-1)=\ln(Cx)}\). Z różnowartościowości funkcji logarytmicznej dostajemy teraz \(\displaystyle{ \ln u-1=Cx}\).
No tak, najprostsze rzeczy są najtrudniejsze . Bardzo dziękuję, nie mogę sobie poradzić jeszcze z jednym przykładem, mianowicie, obliczyłam już całkę: \(\displaystyle{ \int\frac{duu}{2- 1 - u^2 } = \int \frac{dx}{x}}\)
co dało mi: \(\displaystyle{ -\frac{1}{2} ln \left| 1-u^2 \right| =ln \left| x \right| +ln|C|}\)
Jak z powyższego równania wyznaczyć \(\displaystyle{ y}\) ? Próbowałam sama, ale otrzymywałam błędny wynik, prawidłowy wynik to: \(\displaystyle{ y=x+Ce ^{ \frac{x}{y-x} }}\) - a przynajmniej tak jest w odpowiedzi.
