Strona 1 z 1
Wykazać, że dwusieczna dzieli bok w trójkącie w stos. .
: 18 paź 2004, o 16:50
autor: magik100
Wykaż, że dwusieczna kąta A w trójkącie ABC dzieli bok BC w stosunku AB do AC.
Oczywiście temat postu bez zadnych podtekstów ))))).
Wykazać, że dwusieczna dzieli bok w trójkącie w stos. .
: 18 paź 2004, o 19:50
autor: W_Zygmunt
AD to dwusieczna w trójkącie ABC. C1 okrąg opisany na ABD, C2 okrąg opisany na DCA.
Mamy pokazać że
\(\displaystyle{ \frac{|BD|}{|DC|} = \frac{|AB|}{|AC|}}\).
Korzystam z
Twierdzenia sinusów.
W trójkącie ABD
\(\displaystyle{ \frac{|BD|}{\sin{(\angle{BAD})}}=2R_1\ \Longrightarrow \ |BD|=2R_1\cdot\sin{(\angle BAD)}}\)
oraz
\(\displaystyle{ \frac{|AB|}{\sin{(\angle{ADB})}} = 2R_1\ \Longrightarrow\ |AB|= 2R_1\cdot\sin{(\angle{ADB})}}\)
W trójkącie DCA
\(\displaystyle{ \frac{|DC|}{\sin{(\angle{DAC})}}=2R_2\ \Longrightarrow\ |DC|=2R_2\cdot\sin{(\angle{DAC})}}\)
oraz
\(\displaystyle{ \frac{|AC|}{\sin{(\angle{ADC})}} =2R_2\ \Longrightarrow\ |DC|=2R_2\cdot \sin{(\angle{ADC})}}\)
\(\displaystyle{ \angle{DAC} = \angle{BAD}\ \Longrightarrow\ \frac{|BD|}{|DC|} = \frac{R_1}{R_2}}\)
\(\displaystyle{ \angle{ADC} = \pi - \angle{ADC}}\) zatem sinusy są takie same, więc
\(\displaystyle{ \frac{|AB|}{|AC|} = \frac{R_1}{R_2} = \frac{|BD|}{|DC|}}\)