Wykazać, że dwusieczna dzieli bok w trójkącie w stos. .

[magik100]

Wykaż, że dwusieczna kąta A w trójkącie ABC dzieli bok BC w stosunku AB do AC.

Oczywiście temat postu bez zadnych podtekstów ))))).

[W_Zygmunt]

AD to dwusieczna w trójkącie ABC. C1 okrąg opisany na ABD, C2 okrąg opisany na DCA.

Mamy pokazać że \(\displaystyle{ \frac{|BD|}{|DC|} = \frac{|AB|}{|AC|}}\).

Korzystam z Twierdzenia sinusów.

W trójkącie ABD

\(\displaystyle{ \frac{|BD|}{\sin{(\angle{BAD})}}=2R_1\ \Longrightarrow \ |BD|=2R_1\cdot\sin{(\angle BAD)}}\)

oraz

\(\displaystyle{ \frac{|AB|}{\sin{(\angle{ADB})}} = 2R_1\ \Longrightarrow\ |AB|= 2R_1\cdot\sin{(\angle{ADB})}}\)

W trójkącie DCA

\(\displaystyle{ \frac{|DC|}{\sin{(\angle{DAC})}}=2R_2\ \Longrightarrow\ |DC|=2R_2\cdot\sin{(\angle{DAC})}}\)

oraz

\(\displaystyle{ \frac{|AC|}{\sin{(\angle{ADC})}} =2R_2\ \Longrightarrow\ |DC|=2R_2\cdot \sin{(\angle{ADC})}}\)

\(\displaystyle{ \angle{DAC} = \angle{BAD}\ \Longrightarrow\ \frac{|BD|}{|DC|} = \frac{R_1}{R_2}}\)

\(\displaystyle{ \angle{ADC} = \pi - \angle{ADC}}\) zatem sinusy są takie same, więc

\(\displaystyle{ \frac{|AB|}{|AC|} = \frac{R_1}{R_2} = \frac{|BD|}{|DC|}}\)