Matematyka.pl

Oto zadania z Ligi Matematycznej UJ:

I seria (korespondencyjna):
zad. 1.
Niech \(\displaystyle{ (a_n)}\) będzie ciągiem liczb rzeczywistych takim że szereg \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{ \infty }a_i}\) jest zbieżny. Czy szereg \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{ \infty }a_i^3}\) jest zbieżny?
zad. 2.
Niech \(\displaystyle{ A_1,A_2,...,A_n}\) będą niewspółliniowymi punktami płaszczyzny. Koło zwierająca na swoim brzegu co najmniej trzy z nich oraz zawierające pozostałe nazywamy maksymalnym. Ile może być maksymalnie, w zależności od \(\displaystyle{ n}\), maksymalnych kół?
zad. 3.
Czy dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ p_1, p_2}\) istnieją funkcje \(\displaystyle{ f_i: R \to R \ (i=1,2)}\) takie że \(\displaystyle{ p_i}\) jest okresem podstawowym \(\displaystyle{ f_i}\) oraz funkcja \(\displaystyle{ f_1-f_2}\) jest okresowa?
zad. 4.
Niech \(\displaystyle{ f}\) będzie ściśle rosnącą, różniczkowalną na otoczeniu odcinka \(\displaystyle{ [0,1]}\) i przyjmującą wartości rzeczywiste funkcją, taką że \(\displaystyle{ f(0)=0}\), \(\displaystyle{ f'(t)<2}\) i \(\displaystyle{ \frac{f'(t)^2}{1+f(t)^2} \ge 1}\) dla każdego \(\displaystyle{ t \in [0,1]}\). Udowodnij że:
\(\displaystyle{ \int\limits_{0}^{1} \sqrt{\frac{f'(t)^2}{1+f(t)^2}-1}dt \le \arctan f(1)}\)


II seria (stacjonarna):
zad. 1.
Znajdź granicę
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n^2]{(\frac{1}{n}) \cdot ( \frac{2}{n})^2 \cdot \ldots \cdot (\frac{n}{n} )^n }}\)
zad. 2.
Niech \(\displaystyle{ f: \ R \to R}\) będzie ciągła i niestała taka że istnieje \(\displaystyle{ F: \ R^2 \to R}\) spełniająca:
\(\displaystyle{ f(x+y)=F(f(x),f(y))}\)
dla dowolnych rzeczywistych \(\displaystyle{ x,y}\). Udowodnij że \(\displaystyle{ f}\) jest silnie monotoniczna.
zad. 3.
Znajdź wszystkie macierze o wyrazach rzeczywistych nieujemnych, dla których macierz odwrotna też ma nieujemne wyrazy.
zad. 4.
Każdy okrąg na płaszczyźnie pomalowano na jeden z trzech kolorów. Niech \(\displaystyle{ A}\) będzie nieskończonym zbiorem punktów na płaszczyźnie. Pokaż, że istnieje nieskończony zbiór \(\displaystyle{ B \subseteq A}\) taki, że każdy okrąg zaiwrający co najmniej 3 punkty z \(\displaystyle{ B}\) jest tego samego koloru.
zad. 5.
Gracz \(\displaystyle{ A}\) wybiera wielomian stopnia \(\displaystyle{ d}\) o współczynnikach całkowitych dodatnich. Zadanie gracza \(\displaystyle{ B}\) polega na tym, żeby odgadnąć jaki to wielomian. W tym celu może zadawać pytania o wartość wielomianu w wybranym punkcie całkowitym. Ile co najmniej pytań musi zadać??

III seria (korespondencyjna)
zad. 1.
Dla jakich \(\displaystyle{ n>0}\) można znaleźć \(\displaystyle{ n-1}\) prostych przecinających szachownicę \(\displaystyle{ n \times n}\) w ten sposób, że przez wnęttrze każdego pola szachownicy przechodzi przynajmniej jedna prosta?
zad. 2.
Niech \(\displaystyle{ f \in \mathcal{C}^2 \ ([0, \pi])}\) spełnia warunki \(\displaystyle{ f'' \ge -f}\) oraz \(\displaystyle{ f(0)=f(\pi)}\). Pokaż że:
\(\displaystyle{ \frac{1}{\pi} \int\limits_{0}^{\pi}xf(x)dx \ge -f'(\pi)}\)
Dla jakich funkcji zachodzi równość?
zad. 3.
Pokaż że dla dowolnego wielomianu \(\displaystyle{ P(x)}\) o współczynnikach całkowitych istnieją wielomiany o współczynnikach całkowitych \(\displaystyle{ Q_2(x),Q_3(x),W_2(x),W_3(x)}\) takie że:
(i) \(\displaystyle{ P(x)Q_2(x)=W_2(x^2)}\)
(ii) \(\displaystyle{ P(x)Q_3(x)=W_3(x^3)}\)
zad. 4.
Niech \(\displaystyle{ G}\) będzie grafem o \(\displaystyle{ n}\) wierzchołkach i \(\displaystyle{ m \ge n}\) krawędziach. Niech \(\displaystyle{ C_k}\) będzie liczbą cykli \(\displaystyle{ k}\) - elementowych w tym grafie. Udowodnij że:
\(\displaystyle{ \sum_{k=3}^{\infty}C_k (\frac{n}{m})^k \ge 1}\)

IV seria (korespondencyjna)
zad. 1.
Dany jest \(\displaystyle{ n}\) -kąt o równych kątach i kolejnych bokach długości \(\displaystyle{ a_i}\) spełniających \(\displaystyle{ a_1 \le a_2 \le...\le a_n}\). Udowodnij że \(\displaystyle{ a_1=a_2=...=a_n}\)
zad. 2.
niech \(\displaystyle{ (m_1,n_1),...,(m_k, n_k) \in \mathbb{R}^2}\) bedą punktami o współrzędnych całkowitych spełniających \(\displaystyle{ n_i \ge 2m_i>0}\) . proste łączące parami te punkty nie przechodzą przez \(\displaystyle{ (0,0)}\). Pokaż że
\(\displaystyle{ NWW(n_1,...,n_k) \ge 2k}\)
Kiedy zachodzi równość?
zad. 3
Niech \(\displaystyle{ f,g: \mathbb{R \to R}}\) będą wielomianami spełniającymi \(\displaystyle{ f(\mathbb{Z})=g(\mathbb{Z})}\). Udowodnij że istnieją \(\displaystyle{ a \in \mathbb{Z}\ b \in \{-1,1\}}\) takie że \(\displaystyle{ f(x)=g(a+bx)}\)
zad. 4
Niech \(\displaystyle{ f: \mathbb{Q \to R}}\) będzie funkcją spełniającą dla dowolnych wymiernych \(\displaystyle{ h,x_0}\):
\(\displaystyle{ \lim_{x\to x_0} (f(x+h)-f(x))=0}\)
Czy z tego wynika że istnieje przedział dodatniej długości na którym \(\displaystyle{ f}\) jest ograniczona?

termin minął, temat odblokowany, więc zachęcam do komentowania zadań

Czwarte jest raczej proste; na mocy nierówności Schwarza mamy:
\(\displaystyle{ \int_{0}^{1} \sqrt{ \frac{f'(t)^{2}}{1 + f(t)^{2}} - 1}\mbox{d}t \le \sqrt{\int_{0}^{1} 1\mbox{d}t} \cdot \sqrt{\int_{0}^{1} \frac{f'(t)^{2}}{1 + f(t)^{2}} - 1 \mbox{d}t} \le \sqrt{\int_{0}^{1} \frac{2f'(t) \mbox{d}t}{1 + f(t)^{2}} - 1} = \sqrt{\int_{0}^{f(1)} \frac{2\mbox{d}u}{1 + u^{2}} - 1} = \sqrt{2arctg(f(1)) - 1} \le \sqrt{arctg^{2}(f(1))} = arctg(f(1))}\)

W zadaniu 4. \(\displaystyle{ f}\) była klasy \(\displaystyle{ \mathcal{C}^{1}.}\)
(dlatego np rozwiązanie powyżej jest poprawne).

Ja nawet przywaliłem Jensenem, ale jak się przyjrzeć, to istotne jest jedynie wykorzystanie nierówności \(\displaystyle{ \sqrt{2x - 1}\le x}\) dla \(\displaystyle{ x\ge 1.}\)

Może jeszcze wyrażę mocno subiektywną opinię, że pomiędzy zadaniami 1, 3, 4 a zadaniem 2. dostrzegam sporą różnicę 'poziomów trudności'.
Ale może tylko mi się tak wydaje, bo nigdy nie zrobiłem zadania z geometrii, które można by było uznać za ciekawe (tego też nie).
Dlatego też chętnie zobaczę w miarę szczegółowe pomysły na to zadanie.

ja szczególnie nad 3. spędziłem sporo czasu bo wydawało mi się na oko łatwe (i pewnie takie było) ale nie udało mi się go zrobić. zrobiłem w tej serii tylko jedno zadanie (dobre i tyle) i to właśnie (czego bym się na starcie nie spodziewał) nr 2.

mógłbyś mi max powiedzieć czego można by się spodziewać po najbliższej serii stacjonarnej? chodzi mi głównie o poziom trudności na tle tej serii oraz czy tak zawsze spora część zadań jest z analizy.

Trudno mi coś o tym powiedzieć nawet zakładając, że będzie podobnie jak w ubiegłych latach. Zeszłorocznym zadaniom nawet się nie przyglądałem, a dwa lata temu brałem niby udział, ale strasznie mało umiałem i nawet nie pamiętam już dokładnie zadań.
Zdaje się, że była wtedy jedna nierówność całkowa, jedna nierówność, którą się robiło elementarnie, jakieś nietrudne (bo nawet zrozumiałem wtedy o co w nim chodzi) zadanie z teorii liczb, coś z algebry liniowej, jakieś zadanie z wielomianami i jeszcze jedno pytanie o istnienie jakiejś funkcji (analiza jednej zmiennej rzeczywistej). Poza całkami i definicją przestrzeni wektorowej i jej wymiaru, nie wymagało to raczej żadnej wiedzy ze studiów.

To zadanie 3. wydaje mi się najciekawsze z tych co zrobiłem. Na najprostsze typowałbym 1.

ad 1 tez jest znane (np z ksiazek... ) odp nie musi np, szereg zbudowany wg reguły:
"Jego pierwszy wyraz to \(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt[3]{1}}}\), jesli zas pewien wyraz wynosi \(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt[3]{k}}}\), to następne \(\displaystyle{ k}\) wyrazów sa to \(\displaystyle{ -\frac{1}{\sqrt[3]{k^4}}}\), a kolejny \(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt[3]{k+1}}}\) ,itd", tj
\(\displaystyle{ S= \sum_{n=1}^{\infty} a_n=\frac{1}{\sqrt[3]{1}} - \frac{1}{\sqrt[3]{1^4}} + \frac{1}{\sqrt[3]{2}}- \frac{1}{\sqrt[3]{2^4}}- \frac{1}{\sqrt[3]{2^4}} +\frac{1}{\sqrt[3]{3}} - \frac{1}{\sqrt[3]{3^4}} -\frac{1}{\sqrt[3]{3^4}}-\frac{1}{\sqrt[3]{3^4}}+ \frac{1}{\sqrt[3]{4}}+ ....}\)
Szereg ten jest zbiezny (do zera), zas szereg szescianów jest rozbiezny, bo np:
\(\displaystyle{ T_{\frac{(n+1)(n+2)}{2}-1}= (\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{n}) - (\frac{1}{1^3}+\frac{1}{2^3}+...+\frac{1}{n^3} )}\)
*(gdy n te sume czastkowe tych szeregów to \(\displaystyle{ S_n}\) i \(\displaystyle{ T_n}\))

Ja mam pytanie do zadania 2 z drugiej serii skoro

\(\displaystyle{ f(x+y)=F(f(x),f(y))}\)

to dla y=0 mamy:

\(\displaystyle{ f(x)=F(f(x),f(0))}\)

rozwiązując to równanie z niewiadomą f(x) otrzymamy 1 roziązanie czyli funkcję stałą

może gdzies robie błąd w rozumowaniu i ktoś mnie oświeci....

Nie wiem czy Cię dobrze zrozumiałem, ale wydaje mi się, że przez dowolne 3 niewspółliniowe punkty przechodzi okrąg..

wrzuciłem zadania z dzisiejszej II serii

-- 21 listopada 2009, 15:43 --

i od razu mam pytanko:
zadanie 3. robiłem praktycznie w całości tak jak się je powinno robić, ale pod koniec coś mnie natknęło że teza jest fałszywa, co poparłem sobie takim kontrprzykładem:
\(\displaystyle{ f(x)=\sin x}\)

\(\displaystyle{ F(a,b)=\begin{cases} a\cdot \cos(\arcsin b) + b\cdot \cos(\arcsin a) \ ,\mathrm{gdy} \ a,b \in [-1,1] \\2 \ , \mathrm{w \ przeciwnym \ razie} \end{cases}}\)

(F zrobiona tak aby wzór na sinus sumy kątów zachodził)
wszystkie założenia spełnione (przynjamniej tak mi się wydaje) i zonk, a w dowodzie który widziałem też nie bardzo jest się gdzie przyczepić.

Wyrażenie w zadaniu 1. po zlogarytmowaniu nie opiera się zbytnio również twierdzeniu Stolza.

Dumel pisze:(...)
i od razu mam pytanko:
zadanie 3. robiłem praktycznie w całości tak jak się je powinno robić, ale pod koniec coś mnie natknęło że teza jest fałszywa, co poparłem sobie takim kontrprzykładem:
\(\displaystyle{ f(x)=\sin x}\)

\(\displaystyle{ F(a,b)=\begin{cases} a\cdot \cos(\arcsin b) + b\cdot \cos(\arcsin a) \ ,\mathrm{gdy} \ a,b \in [-1,1] \\2 \ , \mathrm{w \ przeciwnym \ razie} \end{cases}}\)

(F zrobiona tak aby wzór na sinus sumy kątów zachodził)
wszystkie założenia spełnione (przynjamniej tak mi się wydaje) i zonk, a w dowodzie który widziałem też nie bardzo jest się gdzie przyczepić.

aha no trudno następnym razem muszę mocniej wierzyć w nieomylność organizatorów
qrde właściwie miałem już na brudno zapisaną całą firmówkę ale cóż człowiek uczy sie na błędach

-- 21 listopada 2009, 19:44 --

wzorcówki pojawią się (podobno) w najbliższym czasie na stronie podanej w 1. poście.
ale czwóreczka ma ładne rozwiązanie choć na moje oko mogłoby być trochę jaśniej opisane.

właściwie to 3 zadania były spokojnie w moim zasiegu (2,3,5) (zrobiłem 5. i może by jeszcze uznać nieoficjalnie 2. a 3. sie niepotrzebnie wystraszyłem). muszę się odkuć w III serii

pojawiły się zadania z III serii
do 4. stycznia oczywiście nie należy wrzucać rozwiązań

koniec serii.
jak ktoś potrafi ruszyć zad. 4. to byłbym wdzięczny za jakiekolwiek wskazówki
oczywiście pozostałe zadania również można komentować/wrzucać rozwiązania