[MIX] Jagiellońska Liga Matematyczna

[Dumel]

Oto zadania z Ligi Matematycznej UJ:

I seria (korespondencyjna):
zad. 1.
Niech \(\displaystyle{ (a_n)}\) będzie ciągiem liczb rzeczywistych takim że szereg \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{ \infty }a_i}\) jest zbieżny. Czy szereg \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{ \infty }a_i^3}\) jest zbieżny?
zad. 2.
Niech \(\displaystyle{ A_1,A_2,...,A_n}\) będą niewspółliniowymi punktami płaszczyzny. Koło zwierająca na swoim brzegu co najmniej trzy z nich oraz zawierające pozostałe nazywamy maksymalnym. Ile może być maksymalnie, w zależności od \(\displaystyle{ n}\), maksymalnych kół?
zad. 3.
Czy dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ p_1, p_2}\) istnieją funkcje \(\displaystyle{ f_i: R \to R \ (i=1,2)}\) takie że \(\displaystyle{ p_i}\) jest okresem podstawowym \(\displaystyle{ f_i}\) oraz funkcja \(\displaystyle{ f_1-f_2}\) jest okresowa?
zad. 4.
Niech \(\displaystyle{ f}\) będzie ściśle rosnącą, różniczkowalną na otoczeniu odcinka \(\displaystyle{ [0,1]}\) i przyjmującą wartości rzeczywiste funkcją, taką że \(\displaystyle{ f(0)=0}\), \(\displaystyle{ f'(t)<2}\) i \(\displaystyle{ \frac{f'(t)^2}{1+f(t)^2} \ge 1}\) dla każdego \(\displaystyle{ t \in [0,1]}\). Udowodnij że:
\(\displaystyle{ \int\limits_{0}^{1} \sqrt{\frac{f'(t)^2}{1+f(t)^2}-1}dt \le \arctan f(1)}\)


II seria (stacjonarna):
zad. 1.
Znajdź granicę
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n^2]{(\frac{1}{n}) \cdot ( \frac{2}{n})^2 \cdot \ldots \cdot (\frac{n}{n} )^n }}\)
zad. 2.
Niech \(\displaystyle{ f: \ R \to R}\) będzie ciągła i niestała taka że istnieje \(\displaystyle{ F: \ R^2 \to R}\) spełniająca:
\(\displaystyle{ f(x+y)=F(f(x),f(y))}\)
dla dowolnych rzeczywistych \(\displaystyle{ x,y}\). Udowodnij że \(\displaystyle{ f}\) jest silnie monotoniczna.
zad. 3.
Znajdź wszystkie macierze o wyrazach rzeczywistych nieujemnych, dla których macierz odwrotna też ma nieujemne wyrazy.
zad. 4.
Każdy okrąg na płaszczyźnie pomalowano na jeden z trzech kolorów. Niech \(\displaystyle{ A}\) będzie nieskończonym zbiorem punktów na płaszczyźnie. Pokaż, że istnieje nieskończony zbiór \(\displaystyle{ B \subseteq A}\) taki, że każdy okrąg zaiwrający co najmniej 3 punkty z \(\displaystyle{ B}\) jest tego samego koloru.
zad. 5.
Gracz \(\displaystyle{ A}\) wybiera wielomian stopnia \(\displaystyle{ d}\) o współczynnikach całkowitych dodatnich. Zadanie gracza \(\displaystyle{ B}\) polega na tym, żeby odgadnąć jaki to wielomian. W tym celu może zadawać pytania o wartość wielomianu w wybranym punkcie całkowitym. Ile co najmniej pytań musi zadać??

III seria (korespondencyjna)
zad. 1.
Dla jakich \(\displaystyle{ n>0}\) można znaleźć \(\displaystyle{ n-1}\) prostych przecinających szachownicę \(\displaystyle{ n \times n}\) w ten sposób, że przez wnęttrze każdego pola szachownicy przechodzi przynajmniej jedna prosta?
zad. 2.
Niech \(\displaystyle{ f \in \mathcal{C}^2 \ ([0, \pi])}\) spełnia warunki \(\displaystyle{ f'' \ge -f}\) oraz \(\displaystyle{ f(0)=f(\pi)}\). Pokaż że:
\(\displaystyle{ \frac{1}{\pi} \int\limits_{0}^{\pi}xf(x)dx \ge -f'(\pi)}\)
Dla jakich funkcji zachodzi równość?
zad. 3.
Pokaż że dla dowolnego wielomianu \(\displaystyle{ P(x)}\) o współczynnikach całkowitych istnieją wielomiany o współczynnikach całkowitych \(\displaystyle{ Q_2(x),Q_3(x),W_2(x),W_3(x)}\) takie że:
(i) \(\displaystyle{ P(x)Q_2(x)=W_2(x^2)}\)
(ii) \(\displaystyle{ P(x)Q_3(x)=W_3(x^3)}\)
zad. 4.
Niech \(\displaystyle{ G}\) będzie grafem o \(\displaystyle{ n}\) wierzchołkach i \(\displaystyle{ m \ge n}\) krawędziach. Niech \(\displaystyle{ C_k}\) będzie liczbą cykli \(\displaystyle{ k}\) - elementowych w tym grafie. Udowodnij że:
\(\displaystyle{ \sum_{k=3}^{\infty}C_k (\frac{n}{m})^k \ge 1}\)

IV seria (korespondencyjna)
zad. 1.
Dany jest \(\displaystyle{ n}\) -kąt o równych kątach i kolejnych bokach długości \(\displaystyle{ a_i}\) spełniających \(\displaystyle{ a_1 \le a_2 \le...\le a_n}\). Udowodnij że \(\displaystyle{ a_1=a_2=...=a_n}\)
zad. 2.
niech \(\displaystyle{ (m_1,n_1),...,(m_k, n_k) \in \mathbb{R}^2}\) bedą punktami o współrzędnych całkowitych spełniających \(\displaystyle{ n_i \ge 2m_i>0}\) . proste łączące parami te punkty nie przechodzą przez \(\displaystyle{ (0,0)}\). Pokaż że
\(\displaystyle{ NWW(n_1,...,n_k) \ge 2k}\)
Kiedy zachodzi równość?
zad. 3
Niech \(\displaystyle{ f,g: \mathbb{R \to R}}\) będą wielomianami spełniającymi \(\displaystyle{ f(\mathbb{Z})=g(\mathbb{Z})}\). Udowodnij że istnieją \(\displaystyle{ a \in \mathbb{Z}\ b \in \{-1,1\}}\) takie że \(\displaystyle{ f(x)=g(a+bx)}\)
zad. 4
Niech \(\displaystyle{ f: \mathbb{Q \to R}}\) będzie funkcją spełniającą dla dowolnych wymiernych \(\displaystyle{ h,x_0}\):
\(\displaystyle{ \lim_{x\to x_0} (f(x+h)-f(x))=0}\)
Czy z tego wynika że istnieje przedział dodatniej długości na którym \(\displaystyle{ f}\) jest ograniczona?

[Dumel]

termin minął, temat odblokowany, więc zachęcam do komentowania zadań

[Wasilewski]

Czwarte jest raczej proste; na mocy nierówności Schwarza mamy:
\(\displaystyle{ \int_{0}^{1} \sqrt{ \frac{f'(t)^{2}}{1 + f(t)^{2}} - 1}\mbox{d}t \le \sqrt{\int_{0}^{1} 1\mbox{d}t} \cdot \sqrt{\int_{0}^{1} \frac{f'(t)^{2}}{1 + f(t)^{2}} - 1 \mbox{d}t} \le \sqrt{\int_{0}^{1} \frac{2f'(t) \mbox{d}t}{1 + f(t)^{2}} - 1} = \sqrt{\int_{0}^{f(1)} \frac{2\mbox{d}u}{1 + u^{2}} - 1} = \sqrt{2arctg(f(1)) - 1} \le \sqrt{arctg^{2}(f(1))} = arctg(f(1))}\)

[max]

W zadaniu 4. \(\displaystyle{ f}\) była klasy \(\displaystyle{ \mathcal{C}^{1}.}\)
(dlatego np rozwiązanie powyżej jest poprawne).

Ja nawet przywaliłem Jensenem, ale jak się przyjrzeć, to istotne jest jedynie wykorzystanie nierówności \(\displaystyle{ \sqrt{2x - 1}\le x}\) dla \(\displaystyle{ x\ge 1.}\)

Może jeszcze wyrażę mocno subiektywną opinię, że pomiędzy zadaniami 1, 3, 4 a zadaniem 2. dostrzegam sporą różnicę 'poziomów trudności'.
Ale może tylko mi się tak wydaje, bo nigdy nie zrobiłem zadania z geometrii, które można by było uznać za ciekawe (tego też nie).
Dlatego też chętnie zobaczę w miarę szczegółowe pomysły na to zadanie.

[Dumel]

ja szczególnie nad 3. spędziłem sporo czasu bo wydawało mi się na oko łatwe (i pewnie takie było) ale nie udało mi się go zrobić. zrobiłem w tej serii tylko jedno zadanie (dobre i tyle) i to właśnie (czego bym się na starcie nie spodziewał) nr 2.

mógłbyś mi max powiedzieć czego można by się spodziewać po najbliższej serii stacjonarnej? chodzi mi głównie o poziom trudności na tle tej serii oraz czy tak zawsze spora część zadań jest z analizy.

[max]

Trudno mi coś o tym powiedzieć nawet zakładając, że będzie podobnie jak w ubiegłych latach. Zeszłorocznym zadaniom nawet się nie przyglądałem, a dwa lata temu brałem niby udział, ale strasznie mało umiałem i nawet nie pamiętam już dokładnie zadań.
Zdaje się, że była wtedy jedna nierówność całkowa, jedna nierówność, którą się robiło elementarnie, jakieś nietrudne (bo nawet zrozumiałem wtedy o co w nim chodzi) zadanie z teorii liczb, coś z algebry liniowej, jakieś zadanie z wielomianami i jeszcze jedno pytanie o istnienie jakiejś funkcji (analiza jednej zmiennej rzeczywistej). Poza całkami i definicją przestrzeni wektorowej i jej wymiaru, nie wymagało to raczej żadnej wiedzy ze studiów.

To zadanie 3. wydaje mi się najciekawsze z tych co zrobiłem. Na najprostsze typowałbym 1.

[mol_ksiazkowy]

ad 1 tez jest znane (np z ksiazek... ) odp nie musi np, szereg zbudowany wg reguły:
"Jego pierwszy wyraz to \(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt[3]{1}}}\), jesli zas pewien wyraz wynosi \(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt[3]{k}}}\), to następne \(\displaystyle{ k}\) wyrazów sa to \(\displaystyle{ -\frac{1}{\sqrt[3]{k^4}}}\), a kolejny \(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt[3]{k+1}}}\) ,itd", tj
\(\displaystyle{ S= \sum_{n=1}^{\infty} a_n=\frac{1}{\sqrt[3]{1}} - \frac{1}{\sqrt[3]{1^4}} + \frac{1}{\sqrt[3]{2}}- \frac{1}{\sqrt[3]{2^4}}- \frac{1}{\sqrt[3]{2^4}} +\frac{1}{\sqrt[3]{3}} - \frac{1}{\sqrt[3]{3^4}} -\frac{1}{\sqrt[3]{3^4}}-\frac{1}{\sqrt[3]{3^4}}+ \frac{1}{\sqrt[3]{4}}+ ....}\)
Szereg ten jest zbiezny (do zera), zas szereg szescianów jest rozbiezny, bo np:
\(\displaystyle{ T_{\frac{(n+1)(n+2)}{2}-1}= (\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{n}) - (\frac{1}{1^3}+\frac{1}{2^3}+...+\frac{1}{n^3} )}\)
*(gdy n te sume czastkowe tych szeregów to \(\displaystyle{ S_n}\) i \(\displaystyle{ T_n}\))

[arek1357]

Ja mam pytanie do zadania 2 z drugiej serii skoro

\(\displaystyle{ f(x+y)=F(f(x),f(y))}\)

to dla y=0 mamy:

\(\displaystyle{ f(x)=F(f(x),f(0))}\)

rozwiązując to równanie z niewiadomą f(x) otrzymamy 1 roziązanie czyli funkcję stałą

może gdzies robie błąd w rozumowaniu i ktoś mnie oświeci....

[jerzozwierz]

Nie wiem czy Cię dobrze zrozumiałem, ale wydaje mi się, że przez dowolne 3 niewspółliniowe punkty przechodzi okrąg..

[Dumel]

wrzuciłem zadania z dzisiejszej II serii

-- 21 listopada 2009, 15:43 --

i od razu mam pytanko:
zadanie 3. robiłem praktycznie w całości tak jak się je powinno robić, ale pod koniec coś mnie natknęło że teza jest fałszywa, co poparłem sobie takim kontrprzykładem:
\(\displaystyle{ f(x)=\sin x}\)

\(\displaystyle{ F(a,b)=\begin{cases} a\cdot \cos(\arcsin b) + b\cdot \cos(\arcsin a) \ ,\mathrm{gdy} \ a,b \in [-1,1] \\2 \ , \mathrm{w \ przeciwnym \ razie} \end{cases}}\)

(F zrobiona tak aby wzór na sinus sumy kątów zachodził)
wszystkie założenia spełnione (przynjamniej tak mi się wydaje) i zonk, a w dowodzie który widziałem też nie bardzo jest się gdzie przyczepić.

[luka52]

1 z II serii:    

Logarytm wyrażenia pięknie zamienia się na całkę \(\displaystyle{ \int_0^1 x \ln x \; \mbox d x}\), stąd granica wynosi \(\displaystyle{ \exp \left\{ \int_0^1 x \ln x \; \mbox d x \right\} = \exp\left\{ - \frac{1}{4} \right\}}\).
Zresztą jest to ten sam przykład co tu: 156017.htm, tylko inaczej zapisany.

[max]

Wyrażenie w zadaniu 1. po zlogarytmowaniu nie opiera się zbytnio również twierdzeniu Stolza.

(...)
i od razu mam pytanko:
zadanie 3. robiłem praktycznie w całości tak jak się je powinno robić, ale pod koniec coś mnie natknęło że teza jest fałszywa, co poparłem sobie takim kontrprzykładem:
\(\displaystyle{ f(x)=\sin x}\)

\(\displaystyle{ F(a,b)=\begin{cases} a\cdot \cos(\arcsin b) + b\cdot \cos(\arcsin a) \ ,\mathrm{gdy} \ a,b \in [-1,1] \\2 \ , \mathrm{w \ przeciwnym \ razie} \end{cases}}\)

(F zrobiona tak aby wzór na sinus sumy kątów zachodził)
wszystkie założenia spełnione (przynjamniej tak mi się wydaje) i zonk, a w dowodzie który widziałem też nie bardzo jest się gdzie przyczepić.

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ \cos(\arcsin (\sin x)) \neq \cos x}\)
np dla \(\displaystyle{ x = \pi}\)
i łatwo widzieć, że
\(\displaystyle{ F(\sin\pi, \sin \tfrac{\pi}{2}) = \sin \tfrac{\pi}{2}\neq \sin\tfrac{3\pi}{2}}\)

[Dumel]

aha no trudno następnym razem muszę mocniej wierzyć w nieomylność organizatorów
qrde właściwie miałem już na brudno zapisaną całą firmówkę ale cóż człowiek uczy sie na błędach

-- 21 listopada 2009, 19:44 --

wzorcówki pojawią się (podobno) w najbliższym czasie na stronie podanej w 1. poście.
ale czwóreczka ma ładne rozwiązanie choć na moje oko mogłoby być trochę jaśniej opisane.

właściwie to 3 zadania były spokojnie w moim zasiegu (2,3,5) (zrobiłem 5. i może by jeszcze uznać nieoficjalnie 2. a 3. sie niepotrzebnie wystraszyłem). muszę się odkuć w III serii

[Dumel]

pojawiły się zadania z III serii
do 4. stycznia oczywiście nie należy wrzucać rozwiązań

[Dumel]

koniec serii.
jak ktoś potrafi ruszyć zad. 4. to byłbym wdzięczny za jakiekolwiek wskazówki
oczywiście pozostałe zadania również można komentować/wrzucać rozwiązania