Matematyka.pl

Kolejne równanie z którym mam problem: \(\displaystyle{ \left( \cos x - \sin x \right) ^{2}+ \tg x =2 \sin ^ {2}x}\)

W tym zadaniu to już wogule nie wiem gdzie się pomyliłem. Doprowadziłem to do następującej postaci:

\(\displaystyle{ \sin 2x =\frac{1+\tg x}{1+\tg x}}\)

i ostatecznie \(\displaystyle{ \sin 2 x=1}\)

co dało mi wynik: \(\displaystyle{ x=\frac{\pi}{4} + k\pi}\). Natomiasto powinno wyjść \(\displaystyle{ x=\frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}}\). Dlaczego?

po wymnożeniu i pomnożeniu przez \(\displaystyle{ \cos x}\) dostałem

\(\displaystyle{ 2 \sin x \cos ^ 2x- \sin x +2 \sin ^ 2x \cos x - \cos x =0 \\
\sin x (2 \cos ^ 2x-1)+ \cos x (2 \sin ^ 2x-1)=0}\)
to cuś w pierwszym nawiasie to to samo co w drugim tyle ze z przeciwnym znakiem, czyli możemy wyłączyć:
\(\displaystyle{ 2 \left( \sin ^ 2x-\frac{1}{2} \right) \left( \cos x - \sin x \right) =0}\)

z pierwszego nawiasu mamy

\(\displaystyle{ \sin x =\frac{\sqrt{2}}{2}\, \vee\, \sin x =-\frac{\sqrt{2}}{2}}\)

czyli \(\displaystyle{ x=\frac{\pi}{4}+2k\pi\,\vee\,x=\frac{3\pi}{4}+2k\pi}\)

a z drugiego\(\displaystyle{ x=\frac{\pi}{4}+2k\pi\,\vee\,x=\frac{5\pi}{4}+2k\pi}\)

czyli ostatecznie \(\displaystyle{ x=\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2}}\)

p.s. ustal z dziedziną bo ja zapomnialem i mi sie juz nie chce ale chyba wszytko wchodzi:)

p.s.2 moglem sie gdzieś walnąć:)