[MIX] max mix
: 7 paź 2009, o 19:24
1. Znajdź wszystkie funkcje \(\displaystyle{ f: D \to D}\):
\(\displaystyle{ f(xf(y))=yf(x)}\) dla \(\displaystyle{ x, y \in D,}\)
gdzie \(\displaystyle{ D=[1, +\infty).}\)
2. Wyznacz wszystkie zbiory \(\displaystyle{ A}\), których elementami są liczby rzeczywiste nieujemne i takie, że:
(a) zbiór \(\displaystyle{ A}\) zawiera co najmniej cztery elementy
(b) Jeśli elementy \(\displaystyle{ a, b, c, d}\) należa do \(\displaystyle{ A}\) i są parami różne, to \(\displaystyle{ ab+cd \in A.}\)
3. Niech \(\displaystyle{ n \geq 2}\). Wykaz, ze każdy element ciągu
\(\displaystyle{ n!+1, n!+2, ...,n!+n}\)
ma dzielnik pierwszy \(\displaystyle{ p}\), który nie jest dzielnikiem żadnego innego elementu tego ciągu.
4. Wykaż że ciąg \(\displaystyle{ a_n=\sqrt{24n+1}}\) , gdzie n jest liczba naturalna, zawiera wszystkie liczby pierwsze \(\displaystyle{ p>3}\).
5. Udowodnij, zę dla dowolnych liczb naturalnych \(\displaystyle{ m, n}\) ,jeśli \(\displaystyle{ mn+1}\) jest podzielne przez 24, to \(\displaystyle{ m+n}\) także jest podzielne przez 24.
6. Wykaż że wewnątrz dowolnego pięciokąta wypukłego, którego wszystkie wierzchołki są punktami kratowymi- istnieje pewien punkt kratowy.
Uwaga: Punkt kratowy, to taki którego obie współrzędne są całkowite.
7. Wyznacz wszystkie liczby rzeczywiste \(\displaystyle{ x}\) takie że liczba
\(\displaystyle{ \frac{\sqrt{x}}{x\sqrt{x}-3\sqrt{x}+3}}\)
jest całkowita.
8. Rozstrzygnij, czy istnieją takie liczby rzeczywiste \(\displaystyle{ a, b, c}\) iż
\(\displaystyle{ \begin{cases} \sqrt{3}a<|b-c|\\\sqrt{3}b<|c-a|\\\sqrt{3}c<|a-b|.\end{cases}}\)
9. Iloczyn pewnych 48 liczb naturalnych ma dokładnie 10 różnych dzielników pierwszych. Wykaż, że wśród tych 48 liczb znajdą się cztery takie, ze ich iloczyn jest pełnym kwadratem.
10. Wykaż, ze dla dowolnej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n \geq 1}\) wielomian
\(\displaystyle{ W(x)=(x^2+x)^{2^{n}}+1}\)
nie jest iloczynem dwóch niestałych (tj stopnia \(\displaystyle{ \geq 1}\) ) wielomianów o współczynnikach całkowitych.
11. Rozwiąż układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} \ x+y+z+t=12\\x^2+y^2+z^2+t^2=50\\ x^3+y^3+z^3+t^3=252 \\ x^2t^2+y^2z^2=2xyzt.\end{cases}}\)
12. Niech \(\displaystyle{ x, a, b}\) to będą liczby naturalne , takie iż \(\displaystyle{ x^{a+b}=a^b b}\). Wykaż, ze \(\displaystyle{ a=x}\) i \(\displaystyle{ b=x^x}\)
13. Rozwiąż układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{a}{x}-\frac{b}{z}=c-zx \\ \frac{b}{y}-\frac{c}{x}=a-xy\\ \frac{c}{z}-\frac{a}{y}=b-yz.\end{cases}}\)
14. Wykaż, ze w ciągu \(\displaystyle{ \lfloor \sqrt{2} \rfloor}\), \(\displaystyle{ \lfloor 2\sqrt{2} \rfloor}\), \(\displaystyle{ \lfloor 3\sqrt{2} \rfloor}\),... istnieje nieskończenie wiele wyrazów, będących potęgami dwójki.
15. Wykaz, ze liczba \(\displaystyle{ N=111....111222...222}\) zbudowana ze stu cyfr 1 i stu cyfr 2, jest iloczynem dwóch kolejnych liczb naturalnych, tj \(\displaystyle{ N=n(n+1)}\) dla pewnego \(\displaystyle{ n \in \{1, 2, ...\}.}\)
16. Na płaszczyznie narysowano okręgi \(\displaystyle{ O_j}\)- w każdym punkcie kratowym jako środku, o promieniu \(\displaystyle{ r=\frac{1}{14}}\). Wykaż, że jeśli narysuje się w dowolny sposób okag O, o promieniu \(\displaystyle{ R=100}\) to musi on przeciąc co najmniej jeden z tych małych okregów \(\displaystyle{ O_j}\).
17. Wykaz, że jeśli liczby \(\displaystyle{ a, b, c > 1,}\) to:
\(\displaystyle{ (a^2-1)(b^2-1)(c^2-1) \leq (abc-1)^2.}\)
18. Niech \(\displaystyle{ F_n}\) będzie zbiorem tych bijekcji \(\displaystyle{ f: \{1, 2,...,n \} \to \{1, 2,...,n \}}\) takie, że
(a) \(\displaystyle{ f(k) \leq k+1}\) dla \(\displaystyle{ k=1,2,....,n}\)
(b) \(\displaystyle{ f(k) \neq k}\) dla \(\displaystyle{ k=2,....,n.}\)
Znajdź prawdopodobieństwo, iż \(\displaystyle{ f(1) \neq 1}\) dla losowo wybranej \(\displaystyle{ f}\) ze zbioru \(\displaystyle{ F_n.}\)
19. \(\displaystyle{ m, n}\) beda liczbami naturalnymi, takie, ze \(\displaystyle{ A=\frac{(m+3)^n+1 }{3m}}\) jest całkowita. Wykaz, ze \(\displaystyle{ A}\) jest nieparzysta. Dać przykład takich liczb.
20. Tożsamość
\(\displaystyle{ 1^2+2^2+3^2+...+24^2=70^2}\)
nasuwa przypuszczenie, że możliwe jest pokrycie kwadratu 70x70 24-ma kwadratami o wymiarach 1x1, 2x2, 3x3, ....24x24. Czy takie pokrycie istotnie jest możliwe?
\(\displaystyle{ f(xf(y))=yf(x)}\) dla \(\displaystyle{ x, y \in D,}\)
gdzie \(\displaystyle{ D=[1, +\infty).}\)
2. Wyznacz wszystkie zbiory \(\displaystyle{ A}\), których elementami są liczby rzeczywiste nieujemne i takie, że:
(a) zbiór \(\displaystyle{ A}\) zawiera co najmniej cztery elementy
(b) Jeśli elementy \(\displaystyle{ a, b, c, d}\) należa do \(\displaystyle{ A}\) i są parami różne, to \(\displaystyle{ ab+cd \in A.}\)
3. Niech \(\displaystyle{ n \geq 2}\). Wykaz, ze każdy element ciągu
\(\displaystyle{ n!+1, n!+2, ...,n!+n}\)
ma dzielnik pierwszy \(\displaystyle{ p}\), który nie jest dzielnikiem żadnego innego elementu tego ciągu.
4. Wykaż że ciąg \(\displaystyle{ a_n=\sqrt{24n+1}}\) , gdzie n jest liczba naturalna, zawiera wszystkie liczby pierwsze \(\displaystyle{ p>3}\).
5. Udowodnij, zę dla dowolnych liczb naturalnych \(\displaystyle{ m, n}\) ,jeśli \(\displaystyle{ mn+1}\) jest podzielne przez 24, to \(\displaystyle{ m+n}\) także jest podzielne przez 24.
6. Wykaż że wewnątrz dowolnego pięciokąta wypukłego, którego wszystkie wierzchołki są punktami kratowymi- istnieje pewien punkt kratowy.
Uwaga: Punkt kratowy, to taki którego obie współrzędne są całkowite.
7. Wyznacz wszystkie liczby rzeczywiste \(\displaystyle{ x}\) takie że liczba
\(\displaystyle{ \frac{\sqrt{x}}{x\sqrt{x}-3\sqrt{x}+3}}\)
jest całkowita.
8. Rozstrzygnij, czy istnieją takie liczby rzeczywiste \(\displaystyle{ a, b, c}\) iż
\(\displaystyle{ \begin{cases} \sqrt{3}a<|b-c|\\\sqrt{3}b<|c-a|\\\sqrt{3}c<|a-b|.\end{cases}}\)
9. Iloczyn pewnych 48 liczb naturalnych ma dokładnie 10 różnych dzielników pierwszych. Wykaż, że wśród tych 48 liczb znajdą się cztery takie, ze ich iloczyn jest pełnym kwadratem.
10. Wykaż, ze dla dowolnej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n \geq 1}\) wielomian
\(\displaystyle{ W(x)=(x^2+x)^{2^{n}}+1}\)
nie jest iloczynem dwóch niestałych (tj stopnia \(\displaystyle{ \geq 1}\) ) wielomianów o współczynnikach całkowitych.
11. Rozwiąż układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} \ x+y+z+t=12\\x^2+y^2+z^2+t^2=50\\ x^3+y^3+z^3+t^3=252 \\ x^2t^2+y^2z^2=2xyzt.\end{cases}}\)
12. Niech \(\displaystyle{ x, a, b}\) to będą liczby naturalne , takie iż \(\displaystyle{ x^{a+b}=a^b b}\). Wykaż, ze \(\displaystyle{ a=x}\) i \(\displaystyle{ b=x^x}\)
13. Rozwiąż układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{a}{x}-\frac{b}{z}=c-zx \\ \frac{b}{y}-\frac{c}{x}=a-xy\\ \frac{c}{z}-\frac{a}{y}=b-yz.\end{cases}}\)
14. Wykaż, ze w ciągu \(\displaystyle{ \lfloor \sqrt{2} \rfloor}\), \(\displaystyle{ \lfloor 2\sqrt{2} \rfloor}\), \(\displaystyle{ \lfloor 3\sqrt{2} \rfloor}\),... istnieje nieskończenie wiele wyrazów, będących potęgami dwójki.
15. Wykaz, ze liczba \(\displaystyle{ N=111....111222...222}\) zbudowana ze stu cyfr 1 i stu cyfr 2, jest iloczynem dwóch kolejnych liczb naturalnych, tj \(\displaystyle{ N=n(n+1)}\) dla pewnego \(\displaystyle{ n \in \{1, 2, ...\}.}\)
16. Na płaszczyznie narysowano okręgi \(\displaystyle{ O_j}\)- w każdym punkcie kratowym jako środku, o promieniu \(\displaystyle{ r=\frac{1}{14}}\). Wykaż, że jeśli narysuje się w dowolny sposób okag O, o promieniu \(\displaystyle{ R=100}\) to musi on przeciąc co najmniej jeden z tych małych okregów \(\displaystyle{ O_j}\).
17. Wykaz, że jeśli liczby \(\displaystyle{ a, b, c > 1,}\) to:
\(\displaystyle{ (a^2-1)(b^2-1)(c^2-1) \leq (abc-1)^2.}\)
18. Niech \(\displaystyle{ F_n}\) będzie zbiorem tych bijekcji \(\displaystyle{ f: \{1, 2,...,n \} \to \{1, 2,...,n \}}\) takie, że
(a) \(\displaystyle{ f(k) \leq k+1}\) dla \(\displaystyle{ k=1,2,....,n}\)
(b) \(\displaystyle{ f(k) \neq k}\) dla \(\displaystyle{ k=2,....,n.}\)
Znajdź prawdopodobieństwo, iż \(\displaystyle{ f(1) \neq 1}\) dla losowo wybranej \(\displaystyle{ f}\) ze zbioru \(\displaystyle{ F_n.}\)
19. \(\displaystyle{ m, n}\) beda liczbami naturalnymi, takie, ze \(\displaystyle{ A=\frac{(m+3)^n+1 }{3m}}\) jest całkowita. Wykaz, ze \(\displaystyle{ A}\) jest nieparzysta. Dać przykład takich liczb.
20. Tożsamość
\(\displaystyle{ 1^2+2^2+3^2+...+24^2=70^2}\)
nasuwa przypuszczenie, że możliwe jest pokrycie kwadratu 70x70 24-ma kwadratami o wymiarach 1x1, 2x2, 3x3, ....24x24. Czy takie pokrycie istotnie jest możliwe?