Matematyka.pl

\(\displaystyle{ 2^2^x*9^x-2*6^3^x^-^1+4^2^x^-^1*3^4^x^-^2=0}\)

Doszedłem do postaci:
\(\displaystyle{ 6^2^x-2*6^3^x^-^1+6^4^x^-^2=0}\)

i mam pytanie: co z tym zrobić? jeżeli nie było by tej dwójki przed szóstką, to można by opuścić szóstki i rozwiązywać równanie z niewiadomą x, a tak to za bardzo nie wiem...

podstaw\(\displaystyle{ t=6^{x}}\) gdzie \(\displaystyle{ t>0}\)

i bawić się wielomianem??
nie można prościej??

Postać, do której doszedłeś jest prawidłowa:

\(\displaystyle{ 6^{2x}-2\cdot 6^{3x-1}+6^{4x-2}=0}\)

Podzielmy równanie obustronnie przez \(\displaystyle{ 6^{2x}}\):

\(\displaystyle{ 1-2\cdot 6^{x-1}+6^{2x-2}=0}\)

\(\displaystyle{ 1-2\cdot \frac{6^{x}}{6}+\frac{6^{2x}}{6^{2}}=0}\)

Pomnóżmy równanie obustronnie przez \(\displaystyle{ 6^{2}}\):

\(\displaystyle{ 6^{2}-2\cdot 6\cdot 6^{x}+6^{2x}=0}\)

\(\displaystyle{ 36-12\cdot 6^{x}+(6^{x})^{2}=0}\)

W takiej sytuacji robimy podstawienie: \(\displaystyle{ 6^{x}=t}\), gdzie \(\displaystyle{ t>0}\):

\(\displaystyle{ 36-12t+t^{2}=0 \iff (t-6)^{2}=0 \iff t=6>0}\)

\(\displaystyle{ 6^{x}=6 \iff 6^{x}=6^{1} \iff x=1}\)

Powołujesz się na różnowartościowość f-cji wykładniczej.