[MIX] Mix robina
: 20 wrz 2009, o 09:55
Mam pare zadań pomyslałem, że zrobie jakiś mix.
1. Znajsz najmniejszą liczbę naturalną \(\displaystyle{ m}\) spełniająca tę nierówność
\(\displaystyle{ \overbrace { 100^{100^{100^{.^{.^{.^{100}}}}}}}^m > \overbrace {3^{3^{3^{.^{.^{.^{3}}}}}}}^{100}}\)
2. Udowodnij ,że w trojkącie \(\displaystyle{ \Delta ABC}\) zachodzi nierówność
\(\displaystyle{ \max\{a,b,c\}-\min\{a,b,c\}\le \frac{2\sqrt{3}}{3}\cdot\sqrt{s^2-3r(4R+r)}\;}\)
Gdzie oczywiście \(\displaystyle{ s= \frac{a+b+c}{2}}\) .
3.
Znajdź wszystkie funkcje f i g takie że
a)\(\displaystyle{ f:N \rightarrow N}\)
\(\displaystyle{ f(nf(n))+f(\frac{f(n)}{n})=p^2(n^2+1)}\) gdzie p jest pierwsza.
b) \(\displaystyle{ g:N \rightarrow N}\)
\(\displaystyle{ g(ng(n))+g(\frac{g(n)}{n})=d^2(n^2+1)}\) gdzie d jest całkowita.
4.
a) Udowodnij, że równanie ma \(\displaystyle{ y^2=x^3+x+1370^{1370}}\) ma co najmniej 6 rozwiązań w \(\displaystyle{ \mathbb{Q}}\)
b) Udowodnij, że równanie \(\displaystyle{ x^4-y^4=2z^2}\) nie ma rozwiązań w \(\displaystyle{ \mathbb{N}}\)
5. Niech x,y,z>0 oraz \(\displaystyle{ xyz=1}\). Udowodnij nierówność
\(\displaystyle{ \frac{x}{x^{-8}+y+z}+\frac{y}{x+y^{-8}+z}+\frac{z}{x+y+z^{-8}} \ge 1}\)
6. Punkt P znajduje się wewnątrz trojkąta \(\displaystyle{ \triangle ABC}\) oraz zachodzą warunki:
(*) \(\displaystyle{ \angle PAB \ge 30^\circ}\) i \(\displaystyle{ \angle APB \ge \angle PCB + 30^\circ}\)
(**) \(\displaystyle{ BP \cdot BC=CP \cdot AB.}\)
Udowodnij że \(\displaystyle{ \angle BAC \ge 60^\circ.}\)
7. Niech \(\displaystyle{ F_0=F_1=1}\) i \(\displaystyle{ F_{n+2}=F_{n+1}+F_n}\) dla \(\displaystyle{ n\in {\mathbb N}}\) . Udowodnij równość
\(\displaystyle{ \sum\limits_{k=0}^{n}{n\choose k}{n+k\choose k}F_{k}= \sum\limits_{k=0}^{n}{n\choose k}{n+k\choose k}(-1)^{n-k}F_{2k}\;}\) .
1. Znajsz najmniejszą liczbę naturalną \(\displaystyle{ m}\) spełniająca tę nierówność
\(\displaystyle{ \overbrace { 100^{100^{100^{.^{.^{.^{100}}}}}}}^m > \overbrace {3^{3^{3^{.^{.^{.^{3}}}}}}}^{100}}\)
2. Udowodnij ,że w trojkącie \(\displaystyle{ \Delta ABC}\) zachodzi nierówność
\(\displaystyle{ \max\{a,b,c\}-\min\{a,b,c\}\le \frac{2\sqrt{3}}{3}\cdot\sqrt{s^2-3r(4R+r)}\;}\)
Gdzie oczywiście \(\displaystyle{ s= \frac{a+b+c}{2}}\) .
3.
Znajdź wszystkie funkcje f i g takie że
a)\(\displaystyle{ f:N \rightarrow N}\)
\(\displaystyle{ f(nf(n))+f(\frac{f(n)}{n})=p^2(n^2+1)}\) gdzie p jest pierwsza.
b) \(\displaystyle{ g:N \rightarrow N}\)
\(\displaystyle{ g(ng(n))+g(\frac{g(n)}{n})=d^2(n^2+1)}\) gdzie d jest całkowita.
4.
a) Udowodnij, że równanie ma \(\displaystyle{ y^2=x^3+x+1370^{1370}}\) ma co najmniej 6 rozwiązań w \(\displaystyle{ \mathbb{Q}}\)
b) Udowodnij, że równanie \(\displaystyle{ x^4-y^4=2z^2}\) nie ma rozwiązań w \(\displaystyle{ \mathbb{N}}\)
5. Niech x,y,z>0 oraz \(\displaystyle{ xyz=1}\). Udowodnij nierówność
\(\displaystyle{ \frac{x}{x^{-8}+y+z}+\frac{y}{x+y^{-8}+z}+\frac{z}{x+y+z^{-8}} \ge 1}\)
6. Punkt P znajduje się wewnątrz trojkąta \(\displaystyle{ \triangle ABC}\) oraz zachodzą warunki:
(*) \(\displaystyle{ \angle PAB \ge 30^\circ}\) i \(\displaystyle{ \angle APB \ge \angle PCB + 30^\circ}\)
(**) \(\displaystyle{ BP \cdot BC=CP \cdot AB.}\)
Udowodnij że \(\displaystyle{ \angle BAC \ge 60^\circ.}\)
7. Niech \(\displaystyle{ F_0=F_1=1}\) i \(\displaystyle{ F_{n+2}=F_{n+1}+F_n}\) dla \(\displaystyle{ n\in {\mathbb N}}\) . Udowodnij równość
\(\displaystyle{ \sum\limits_{k=0}^{n}{n\choose k}{n+k\choose k}F_{k}= \sum\limits_{k=0}^{n}{n\choose k}{n+k\choose k}(-1)^{n-k}F_{2k}\;}\) .