Matematyka.pl

Oblicz, za pomocą różniczki zupełnej, przybliżoną wartość wyrażenia: \(\displaystyle{ A = ln[6 - 0,97^{2} -1,98^{2}]}\).
\(\displaystyle{ B = \sqrt{ (1,86)^{4} + (3,05) ^{2} }}\).

Pkt.A) Rozważmy f-cję dwóch zmiennych:

\(\displaystyle{ f(x,y) = \ln (6 -x^2 -y^2) \\
\mbox{d}f = \frac{ \partial f}{ \partial x}\mbox{d}x + \frac{ \partial f}{ \partial y}\mbox{d}y
\\
\mbox{d}x = -0.03 \\ \mbox{d}y = -0.02
\\ f(x+\mbox{d}x,y+\mbox{d}y) \approx f(x,y) + \mbox{d}f}\)

Podstaw tylko: \(\displaystyle{ (x,y) = (1,2)}\)
I policz pochodne cząstkowe.

Czy byłbyś tak dobry i zrobiłbyś to, bo ja za bardzo nie wiem, jak.

\(\displaystyle{ f(x,y) = \ln (6 -x^2 -y^2) \\
\frac{ \partial f}{ \partial x} = -\frac{2x}{6-x^2-y^2} \\
\frac{ \partial f}{ \partial y} = -\frac{2y}{6-x^2-y^2} \\
\frac{ \partial f}{ \partial x}(1,2) = -\frac{2}{6-1-4} = -2 \\
\frac{ \partial f}{ \partial y}(1,2) = -\frac{4}{6-1-4} = -4 \\
\mbox{d}f(1,2) = (-2)\cdot (-0.03) + (-4)\cdot (-0.02) = 0.06+0.12=0.18 \\
f(1,2) = \ln (6-1-4) = 0 \\
f(0.97,1.98) \approx f(1,2)+df(1,2) = 0.18}\)

B) musisz zrobic sam po tym co napisalem powinienes umiec

Ja mam podobny problem, prosiłbym kogoś o rozwiązanie przykładu \(\displaystyle{ \sqrt{(2,07)^2+(0,88)^2}}\) . Mi na koniec wychodzi \(\displaystyle{ \frac{4,88 \sqrt{5} }{5}}\) , co chyba nie jest zbyt dobrą odpowiedzią, na przybliżenie wartości tego wyrażenia... Jakby ktoś to rozwiązał to wiedziałbym już jak to dokładnie robić, tak krok po kroku dla tłoka

Odpowiedź fizmo jest dość jasna.

Pomyłka tkwi tylko w "deltach", które powinny wynosić odpowiednio: \(\displaystyle{ -0,03 ; -0,02}\) .
Tamte delty zmieniają wynik o rząd wielkości.

-- 15 wrz 2009, o 15:23 --

Rozwiązania dla michalbial:

Najpierw zapisujesz w funkcję w formie:
\(\displaystyle{ \sqrt{x ^{2}+y ^{2} }}\)
Podstawiasz za zmienne i zapisujesz delty (czyli różnice do pełnych liczb):
\(\displaystyle{ x=2; \partial x=0,07}\)
\(\displaystyle{ y=1; \partial y=-0,12}\)
Liczysz pochodne cząstkowe z funkcji powyższej:
\(\displaystyle{ \frac{ \partial f}{ \partial x} = \frac{x}{ \sqrt{x ^{2}+y ^{2} } }}\)
\(\displaystyle{ \frac{ \partial f}{ \partial y} = \frac{y}{ \sqrt{x ^{2}+y ^{2} } }}\)
Teraz wstawiasz wraz z podstawionymi wartościami do wzoru:
\(\displaystyle{ f(x,y) + \frac{ \partial f}{ \partial x} \partial x + \frac{ \partial f}{ \partial y} \partial y
= \sqrt{5}+ \frac{0,07*2}{ \sqrt{5} } + \frac{-0,12}{ \sqrt{5} } = \frac{5,02 \sqrt{5} }{5}}\)

Jako deltę użyłem symbolu "\(\displaystyle{ \partial}\)".
Moja odpowiedź odbiega od sugerowanej, ale nie mogę dopatrzeć się błędu...
(w mojej odpowiedzi błąd pojawia się na trzecim miejscu po przecinku, a w Twojej już na pierwszym miejscu)

O racja z tymi deltami, juz poprawiam -- 17 września 2009, 14:02 --Możliwe że źle przepisałeś zadanie i powinno być : \(\displaystyle{ \sqrt{(2.07)^3 + (0.88)^2}}\)
Wtedy wynik wyjdzie "ładny" ;]

no właśnie zerknąłem do zbioru i faktycznie jest do trzeciej potęgi przy dwójce... dzięki za zwrócenie na to uwagi, faktycznie teraz już wszystko ładnie mi się liczy

Wybaczcie, że odkopuję temat, ale czy \(\displaystyle{ \sqrt{5}}\) w tym zadaniu skąd się bierze? Z góry dziękuję za odpowiedź.

z tego ze masz \(\displaystyle{ \sqrt{x^2+y^2}}\)
oraz
\(\displaystyle{ x=2}\)
\(\displaystyle{ y=1}\)