Metoda różniczki zupełnej

[darek88]

Oblicz, za pomocą różniczki zupełnej, przybliżoną wartość wyrażenia: \(\displaystyle{ A = ln[6 - 0,97^{2} -1,98^{2}]}\).
\(\displaystyle{ B = \sqrt{ (1,86)^{4} + (3,05) ^{2} }}\).

[fizmo]

Pkt.A) Rozważmy f-cję dwóch zmiennych:

\(\displaystyle{ f(x,y) = \ln (6 -x^2 -y^2) \\
\mbox{d}f = \frac{ \partial f}{ \partial x}\mbox{d}x + \frac{ \partial f}{ \partial y}\mbox{d}y
\\
\mbox{d}x = -0.03 \\ \mbox{d}y = -0.02
\\ f(x+\mbox{d}x,y+\mbox{d}y) \approx f(x,y) + \mbox{d}f}\)

Podstaw tylko: \(\displaystyle{ (x,y) = (1,2)}\)
I policz pochodne cząstkowe.

[darek88]

Czy byłbyś tak dobry i zrobiłbyś to, bo ja za bardzo nie wiem, jak.

[fizmo]

\(\displaystyle{ f(x,y) = \ln (6 -x^2 -y^2) \\
\frac{ \partial f}{ \partial x} = -\frac{2x}{6-x^2-y^2} \\
\frac{ \partial f}{ \partial y} = -\frac{2y}{6-x^2-y^2} \\
\frac{ \partial f}{ \partial x}(1,2) = -\frac{2}{6-1-4} = -2 \\
\frac{ \partial f}{ \partial y}(1,2) = -\frac{4}{6-1-4} = -4 \\
\mbox{d}f(1,2) = (-2)\cdot (-0.03) + (-4)\cdot (-0.02) = 0.06+0.12=0.18 \\
f(1,2) = \ln (6-1-4) = 0 \\
f(0.97,1.98) \approx f(1,2)+df(1,2) = 0.18}\)

B) musisz zrobic sam po tym co napisalem powinienes umiec

[michalbial]

Ja mam podobny problem, prosiłbym kogoś o rozwiązanie przykładu \(\displaystyle{ \sqrt{(2,07)^2+(0,88)^2}}\) . Mi na koniec wychodzi \(\displaystyle{ \frac{4,88 \sqrt{5} }{5}}\) , co chyba nie jest zbyt dobrą odpowiedzią, na przybliżenie wartości tego wyrażenia... Jakby ktoś to rozwiązał to wiedziałbym już jak to dokładnie robić, tak krok po kroku dla tłoka

[statystykinieznam]

Odpowiedź fizmo jest dość jasna.

Pomyłka tkwi tylko w "deltach", które powinny wynosić odpowiednio: \(\displaystyle{ -0,03 ; -0,02}\) .
Tamte delty zmieniają wynik o rząd wielkości.

-- 15 wrz 2009, o 15:23 --

Rozwiązania dla michalbial:

Najpierw zapisujesz w funkcję w formie:
\(\displaystyle{ \sqrt{x ^{2}+y ^{2} }}\)
Podstawiasz za zmienne i zapisujesz delty (czyli różnice do pełnych liczb):
\(\displaystyle{ x=2; \partial x=0,07}\)
\(\displaystyle{ y=1; \partial y=-0,12}\)
Liczysz pochodne cząstkowe z funkcji powyższej:
\(\displaystyle{ \frac{ \partial f}{ \partial x} = \frac{x}{ \sqrt{x ^{2}+y ^{2} } }}\)
\(\displaystyle{ \frac{ \partial f}{ \partial y} = \frac{y}{ \sqrt{x ^{2}+y ^{2} } }}\)
Teraz wstawiasz wraz z podstawionymi wartościami do wzoru:
\(\displaystyle{ f(x,y) + \frac{ \partial f}{ \partial x} \partial x + \frac{ \partial f}{ \partial y} \partial y
= \sqrt{5}+ \frac{0,07*2}{ \sqrt{5} } + \frac{-0,12}{ \sqrt{5} } = \frac{5,02 \sqrt{5} }{5}}\)

Jako deltę użyłem symbolu "\(\displaystyle{ \partial}\)".
Moja odpowiedź odbiega od sugerowanej, ale nie mogę dopatrzeć się błędu...
(w mojej odpowiedzi błąd pojawia się na trzecim miejscu po przecinku, a w Twojej już na pierwszym miejscu)

[fizmo]

O racja z tymi deltami, juz poprawiam -- 17 września 2009, 14:02 --Możliwe że źle przepisałeś zadanie i powinno być : \(\displaystyle{ \sqrt{(2.07)^3 + (0.88)^2}}\)
Wtedy wynik wyjdzie "ładny" ;]

[michalbial]

no właśnie zerknąłem do zbioru i faktycznie jest do trzeciej potęgi przy dwójce... dzięki za zwrócenie na to uwagi, faktycznie teraz już wszystko ładnie mi się liczy

[toper997]

Wybaczcie, że odkopuję temat, ale czy \(\displaystyle{ \sqrt{5}}\) w tym zadaniu skąd się bierze? Z góry dziękuję za odpowiedź.

[sushi]

z tego ze masz \(\displaystyle{ \sqrt{x^2+y^2}}\)
oraz
\(\displaystyle{ x=2}\)
\(\displaystyle{ y=1}\)