Matematyka.pl

W jaki sposób najprościej znaleźć bazę Jordana dla jakiegoś endomorfizmu?

Jeśli nie znasz żadnej wersji tzw. schematu kropkowego, to z definicji.

Pozdrawiam.

liczysz kolejno wartości własne, a potem przestrzenie pierwiastkowe, daj jakiś przykład to moge coś podpowiedzieć.

Mnie ten temat też interesuje, więc się podpinam

Gdzie mogę coś znaleźć na temat schematu kropkowego? (google tylko daje jeden link do matematyka.pl gdzie nie jest to wytłumaczone o co chodzi)

Zordon, prosiłeś o przykład i oto jest przykład:
Załóżmy, ze mamy taką macierz:

\(\displaystyle{ M(\phi)_{st}^{st}= \left[\begin{array}{cccc}3&-1&0&0\\1&1&0&0\\3&0&5&-3\\4&-1&3&-1\end{array}\right]}\)

Wartość własna jest tylko jedna i wynosi 2, więc przestrzeń pierwiastkowa wynosi :

\(\displaystyle{ V_{(2)}= \left[\begin{array}{cccc}1&-1&0&0\\1&-1&0&0\\3&0&3&-3\\4&-1&3&-3\end{array}\right]}\)

To jest proste do obliczenia, tylko powiedz czemu to ma służyć, bo nie wiem po co mi ta przestrzeń pierwiastkowa teraz... co mam dalej z nią zrobić?

jeśli jest jedna wartość własna \(\displaystyle{ \lambda=2}\) to aby dowiedzieć się ile będzie klatek Jordana z dwójkami należy zbadać wymiar przestrzeni \(\displaystyle{ ker(\phi-\lambda I)}\) (tyle właśnie będzie takich klatek).

Aha, jeżeli chodzi o znalezienie macierzy Jordana to nie ma problemu:
\(\displaystyle{ M(\phi-2I)_{st}^{st}= \left[\begin{array}{cccc}1&-1&0&0\\1&-1&0&0\\3&0&3&-3\\4&-1&3&-3\end{array}\right]}\)
Rząd tej macierzy jest równy 2, rząd macierzy wyjściowej był równy 4, więc mamy 4-2=2 klatki Jordana o rozmiarze większym lub równym 1
I teraz potęgujemy macierz:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}1&-1&0&0\\1&-1&0&0\\3&0&3&-3\\4&-1&3&-3\end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{cccc}1&-1&0&0\\1&-1&0&0\\3&0&3&-3\\4&-1&3&-3\end{array}\right] }= \left[\begin{array}{cccc}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{array}\right]}\)
Rząd tej macierzy jest równy 0 więc mamy 2-0=2 klatek Jordana o rozmiarze większym lub równym 2
Więc nasza macierz w postaci Jordana wygląda tak:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}2&1&0&0\\0&2&0&0\\0&0&2&1\\0&0&0&2\end{array}\right]}\)

No i teraz gdzie ukryta jest w tym wszystkim baza Jordana?

corax pisze:Aha, jeżeli chodzi o znalezienie macierzy Jordana to nie ma problemu:
\(\displaystyle{ M(\phi-2I)_{st}^{st}= \left[\begin{array}{cccc}1&-1&0&0\\1&-1&0&0\\3&0&3&-3\\4&-1&3&-3\end{array}\right]}\)
Rząd tej macierzy jest równy 2, rząd macierzy wyjściowej był równy 4, więc mamy 4-2=2 klatki Jordana o rozmiarze większym lub równym 1
I teraz potęgujemy macierz:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}1&-1&0&0\\1&-1&0&0\\3&0&3&-3\\4&-1&3&-3\end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{cccc}1&-1&0&0\\1&-1&0&0\\3&0&3&-3\\4&-1&3&-3\end{array}\right] }= \left[\begin{array}{cccc}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{array}\right]}\)
Rząd tej macierzy jest równy 0 więc mamy 2-0=2 klatek Jordana o rozmiarze większym lub równym 2
Więc nasza macierz w postaci Jordana wygląda tak:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}2&1&0&0\\0&2&0&0\\0&0&2&1\\0&0&0&2\end{array}\right]}\)

No i teraz gdzie ukryta jest w tym wszystkim baza Jordana?

no to bierzemy dowolne dwa liniowo niezależne wektory z \(\displaystyle{ ker(\phi -2I)^2 \ \backslash \ ker(\phi-2I)}\) to będą dwa pierwsze wektory naszej bazy (dla każdej klatki po jednym). Nazwijmy je \(\displaystyle{ b_2}\) i \(\displaystyle{ b_4}\), potem liczymy:
\(\displaystyle{ b_1=(\phi-2I)(b_2)}\)
\(\displaystyle{ b_3=(\phi-2I)(b_4)}\)

i mamy już całą bazę. Ostatecznie będziemy mieli:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}3&-1&0&0\\1&1&0&0\\3&0&5&-3\\4&-1&3&-1\end{array}\right]= \left[ b_1 & b_2 & b_3 & b_4\right] \left[\begin{array}{cccc}2&1&0&0\\0&2&0&0\\0&0&2&1\\0&0&0&2\end{array}\right]\left[ b_1 & b_2 & b_3 & b_4\right]^{-1}}\)

gdzie wektory \(\displaystyle{ b_i}\) traktujemy jako kolumny macierzy.

Nie wiem, czy dobrze Cię zrozumiałem:

Więc obliczam \(\displaystyle{ ker(\phi-2I)}\)
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}1&-1&0&0\\1&-1&0&0\\3&0&3&-3\\4&-1&3&-3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\0\\0\\0\end{array}\right]}\)
No i z tego otrzymue
\(\displaystyle{ x_1=x_2}\)
\(\displaystyle{ x_4=x_3+x_1}\)
\(\displaystyle{ (x_1,x_2,x_3,x_4)=(x_1,x_1,x_3,x_3+x_1)=x_1(1,1,0,1)+x_3(0,0,1,1)}\)
I to są te dwa wektory o których mówiłeś
\(\displaystyle{ b_1=\left[\begin{array}{cccc}1&-1&0&0\\1&-1&0&0\\3&0&3&-3\\4&-1&3&-3\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}1\\1\\0\\1\end{array}\right]}\)

\(\displaystyle{ b_3=\left[\begin{array}{cccc}1&-1&0&0\\1&-1&0&0\\3&0&3&-3\\4&-1&3&-3\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}0\\0\\1\\1\end{array}\right]}\)
No i właśnie tutaj wychodzi mi , ze \(\displaystyle{ b_1, b_2}\) równe są 0 , coś gdzieś źle zrozumiałem...

no tak bo masz wziąć dwa wektory z \(\displaystyle{ ker(\phi -2I)^2 \ \backslash \ ker(\phi-2I)}\) a nie z \(\displaystyle{ \ ker(\phi-2I)}\)
a skoro (jak wyżej obliczyłeś) \(\displaystyle{ (\phi -2I)^2=0}\) to \(\displaystyle{ ker(\phi -2I)^2=\mathbb{R}^4}\)
więc musisz wziąć dowolne 2 lnz wektory, które nie należą do \(\displaystyle{ ker(\phi-2I)}\).

jak już policzysz i potem znajdziesz \(\displaystyle{ b_1}\) i \(\displaystyle{ b_3}\)

to powinno być:
\(\displaystyle{ (\phi -2I)(b_1)=0}\)
\(\displaystyle{ (\phi -2I)(b_3)=0}\)

Dobrze wyszło
Już rozumiem
Jeszcze jedno mi wytłumacz tylko, bo jak tam biorę dwa wektory l.n.z. to : skąd mam wiedzieć ile tych wektorów wziąć? Jest ich tyle samo co klatek Jordana ?

corax pisze:Dobrze wyszło
Już rozumiem
Jeszcze jedno mi wytłumacz tylko, bo jak tam biorę dwa wektory l.n.z. to : skąd mam wiedzieć ile tych wektorów wziąć? Jest ich tyle samo co klatek Jordana ?

ogólnie schemat jest dość rozbudowany i ciężko to na tym jednym przykładzie wytłumaczyć , tutaj braliśmy akurat 2 wektory ponieważ są dwie klatki o tym rozmiarze.

Skoro tak, to dam inny przykład:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}-3&4&0\\2&-1&0\\1&3&1\end{array}\right]}\)
To teraz znajduje wartości włsne i są nimi 1, -5 i:
\(\displaystyle{ M(\phi-1)=\left[\begin{array}{ccc}-4&4&0\\2&-2&0\\1&3&0\end{array}\right]}\)
Rząd macierzy wyjściowej jest równy 3, tej macierz 2, więc mamy jedną klatkę Jordana o rozmiarze równym lub większym 1
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}-4&4&0\\2&-2&0\\1&3&0\end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{ccc}-4&4&0\\2&-2&0\\1&3&0\end{array}\right]= \left[\begin{array}{ccc}-24&-24&0\\-12&12&0\\2&-2&0\end{array}\right]}\)
Więc mamy 2-1 klatek Jordana o rozmiarze większym lub równym 2
\(\displaystyle{ M(\phi-5)=\left[\begin{array}{ccc}2&4&0\\2&4&0\\1&3&6\end{array}\right]}\)
mamy 3-2 klatek Jordana o rozmiarze większym lub równym 1
\(\displaystyle{ M(\phi-5)=\left[\begin{array}{ccc}2&4&0\\2&4&0\\1&3&6\end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{ccc}2&4&0\\2&4&0\\1&3&6\end{array}\right ]= \left[\begin{array}{ccc}24&24&0\\24&24&0\\14&25&36\end{array}\right]}\)
No i mamy 2-2= 0 klatek Jordana o większym rozmiarze niż 1
Więc macierze w postaci Jordana jest równa:
\(\displaystyle{ M(\phi-5)=\left[\begin{array}{ccc}1&1&0\\0&1&0\\0&0&-5\end{array}\right]}\)

No i teraz pojawia się właśnie ten problem ile tych wektorów wziąć.. nie dość, że klatki nie są tego samego wymiaru to jeszcze są inne wartości własne :-/

ważna jest też krotność pierwiastków, tyle ile wynosi krotność pierwiastka tyle razy wystąpi on na diagonali z postaci Jordana.
Co do przykładu wyżej, to 1 jest pierwiastkiem dwukrotnym więc będzie: albo 1 klatka rozmiaru 2, albo dwie klatki pojedyncze, zależy od wymiaru przestrzeni \(\displaystyle{ ker(\phi-1)}\).
-5 jest pojedynczym pierwiastkiem zatem na 100% bedzie jedna mala klatka, wektor bazowy znajdziemy wybierając dowolny z przestrzeni \(\displaystyle{ ker(\phi+5)}\)

Teraz to nie rozumiem, wcześniej miałem nie wybierać wektorów z \(\displaystyle{ ker(\phi- \lambda I)}\), a teraz mam? Hmm... jeszcze pomyśle, ale wątpię, żeby mi się udało to rozwiązać...

corax pisze:Teraz to nie rozumiem, wcześniej miałem nie wybierać wektorów z \(\displaystyle{ ker(\phi- \lambda I)}\), a teraz mam? Hmm... jeszcze pomyśle, ale wątpię, żeby mi się udało to rozwiązać...

wszystko zależy od wielkości klatek