Bazy Jordana

[sawiola]

W jaki sposób najprościej znaleźć bazę Jordana dla jakiegoś endomorfizmu?

[BettyBoo]

Jeśli nie znasz żadnej wersji tzw. schematu kropkowego, to z definicji.

Pozdrawiam.

[Zordon]

liczysz kolejno wartości własne, a potem przestrzenie pierwiastkowe, daj jakiś przykład to moge coś podpowiedzieć.

[corax]

Mnie ten temat też interesuje, więc się podpinam

Gdzie mogę coś znaleźć na temat schematu kropkowego? (google tylko daje jeden link do matematyka.pl gdzie nie jest to wytłumaczone o co chodzi)

Zordon, prosiłeś o przykład i oto jest przykład:
Załóżmy, ze mamy taką macierz:

\(\displaystyle{ M(\phi)_{st}^{st}= \left[\begin{array}{cccc}3&-1&0&0\\1&1&0&0\\3&0&5&-3\\4&-1&3&-1\end{array}\right]}\)

Wartość własna jest tylko jedna i wynosi 2, więc przestrzeń pierwiastkowa wynosi :

\(\displaystyle{ V_{(2)}= \left[\begin{array}{cccc}1&-1&0&0\\1&-1&0&0\\3&0&3&-3\\4&-1&3&-3\end{array}\right]}\)

To jest proste do obliczenia, tylko powiedz czemu to ma służyć, bo nie wiem po co mi ta przestrzeń pierwiastkowa teraz... co mam dalej z nią zrobić?

[Zordon]

jeśli jest jedna wartość własna \(\displaystyle{ \lambda=2}\) to aby dowiedzieć się ile będzie klatek Jordana z dwójkami należy zbadać wymiar przestrzeni \(\displaystyle{ ker(\phi-\lambda I)}\) (tyle właśnie będzie takich klatek).

[corax]

Aha, jeżeli chodzi o znalezienie macierzy Jordana to nie ma problemu:
\(\displaystyle{ M(\phi-2I)_{st}^{st}= \left[\begin{array}{cccc}1&-1&0&0\\1&-1&0&0\\3&0&3&-3\\4&-1&3&-3\end{array}\right]}\)
Rząd tej macierzy jest równy 2, rząd macierzy wyjściowej był równy 4, więc mamy 4-2=2 klatki Jordana o rozmiarze większym lub równym 1
I teraz potęgujemy macierz:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}1&-1&0&0\\1&-1&0&0\\3&0&3&-3\\4&-1&3&-3\end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{cccc}1&-1&0&0\\1&-1&0&0\\3&0&3&-3\\4&-1&3&-3\end{array}\right] }= \left[\begin{array}{cccc}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{array}\right]}\)
Rząd tej macierzy jest równy 0 więc mamy 2-0=2 klatek Jordana o rozmiarze większym lub równym 2
Więc nasza macierz w postaci Jordana wygląda tak:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}2&1&0&0\\0&2&0&0\\0&0&2&1\\0&0&0&2\end{array}\right]}\)

No i teraz gdzie ukryta jest w tym wszystkim baza Jordana?

[Zordon]

Aha, jeżeli chodzi o znalezienie macierzy Jordana to nie ma problemu:
\(\displaystyle{ M(\phi-2I)_{st}^{st}= \left[\begin{array}{cccc}1&-1&0&0\\1&-1&0&0\\3&0&3&-3\\4&-1&3&-3\end{array}\right]}\)
Rząd tej macierzy jest równy 2, rząd macierzy wyjściowej był równy 4, więc mamy 4-2=2 klatki Jordana o rozmiarze większym lub równym 1
I teraz potęgujemy macierz:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}1&-1&0&0\\1&-1&0&0\\3&0&3&-3\\4&-1&3&-3\end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{cccc}1&-1&0&0\\1&-1&0&0\\3&0&3&-3\\4&-1&3&-3\end{array}\right] }= \left[\begin{array}{cccc}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{array}\right]}\)
Rząd tej macierzy jest równy 0 więc mamy 2-0=2 klatek Jordana o rozmiarze większym lub równym 2
Więc nasza macierz w postaci Jordana wygląda tak:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}2&1&0&0\\0&2&0&0\\0&0&2&1\\0&0&0&2\end{array}\right]}\)

No i teraz gdzie ukryta jest w tym wszystkim baza Jordana?

no to bierzemy dowolne dwa liniowo niezależne wektory z \(\displaystyle{ ker(\phi -2I)^2 \ \backslash \ ker(\phi-2I)}\) to będą dwa pierwsze wektory naszej bazy (dla każdej klatki po jednym). Nazwijmy je \(\displaystyle{ b_2}\) i \(\displaystyle{ b_4}\), potem liczymy:
\(\displaystyle{ b_1=(\phi-2I)(b_2)}\)
\(\displaystyle{ b_3=(\phi-2I)(b_4)}\)

i mamy już całą bazę. Ostatecznie będziemy mieli:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}3&-1&0&0\\1&1&0&0\\3&0&5&-3\\4&-1&3&-1\end{array}\right]= \left[ b_1 & b_2 & b_3 & b_4\right] \left[\begin{array}{cccc}2&1&0&0\\0&2&0&0\\0&0&2&1\\0&0&0&2\end{array}\right]\left[ b_1 & b_2 & b_3 & b_4\right]^{-1}}\)

gdzie wektory \(\displaystyle{ b_i}\) traktujemy jako kolumny macierzy.

[corax]

Nie wiem, czy dobrze Cię zrozumiałem:

Więc obliczam \(\displaystyle{ ker(\phi-2I)}\)
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}1&-1&0&0\\1&-1&0&0\\3&0&3&-3\\4&-1&3&-3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\0\\0\\0\end{array}\right]}\)
No i z tego otrzymue
\(\displaystyle{ x_1=x_2}\)
\(\displaystyle{ x_4=x_3+x_1}\)
\(\displaystyle{ (x_1,x_2,x_3,x_4)=(x_1,x_1,x_3,x_3+x_1)=x_1(1,1,0,1)+x_3(0,0,1,1)}\)
I to są te dwa wektory o których mówiłeś
\(\displaystyle{ b_1=\left[\begin{array}{cccc}1&-1&0&0\\1&-1&0&0\\3&0&3&-3\\4&-1&3&-3\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}1\\1\\0\\1\end{array}\right]}\)

\(\displaystyle{ b_3=\left[\begin{array}{cccc}1&-1&0&0\\1&-1&0&0\\3&0&3&-3\\4&-1&3&-3\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}0\\0\\1\\1\end{array}\right]}\)
No i właśnie tutaj wychodzi mi , ze \(\displaystyle{ b_1, b_2}\) równe są 0 , coś gdzieś źle zrozumiałem...

[Zordon]

no tak bo masz wziąć dwa wektory z \(\displaystyle{ ker(\phi -2I)^2 \ \backslash \ ker(\phi-2I)}\) a nie z \(\displaystyle{ \ ker(\phi-2I)}\)
a skoro (jak wyżej obliczyłeś) \(\displaystyle{ (\phi -2I)^2=0}\) to \(\displaystyle{ ker(\phi -2I)^2=\mathbb{R}^4}\)
więc musisz wziąć dowolne 2 lnz wektory, które nie należą do \(\displaystyle{ ker(\phi-2I)}\).

jak już policzysz i potem znajdziesz \(\displaystyle{ b_1}\) i \(\displaystyle{ b_3}\)

to powinno być:
\(\displaystyle{ (\phi -2I)(b_1)=0}\)
\(\displaystyle{ (\phi -2I)(b_3)=0}\)

[corax]

Dobrze wyszło
Już rozumiem
Jeszcze jedno mi wytłumacz tylko, bo jak tam biorę dwa wektory l.n.z. to : skąd mam wiedzieć ile tych wektorów wziąć? Jest ich tyle samo co klatek Jordana ?

[Zordon]

Dobrze wyszło
Już rozumiem
Jeszcze jedno mi wytłumacz tylko, bo jak tam biorę dwa wektory l.n.z. to : skąd mam wiedzieć ile tych wektorów wziąć? Jest ich tyle samo co klatek Jordana ?

ogólnie schemat jest dość rozbudowany i ciężko to na tym jednym przykładzie wytłumaczyć , tutaj braliśmy akurat 2 wektory ponieważ są dwie klatki o tym rozmiarze.

[corax]

Skoro tak, to dam inny przykład:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}-3&4&0\\2&-1&0\\1&3&1\end{array}\right]}\)
To teraz znajduje wartości włsne i są nimi 1, -5 i:
\(\displaystyle{ M(\phi-1)=\left[\begin{array}{ccc}-4&4&0\\2&-2&0\\1&3&0\end{array}\right]}\)
Rząd macierzy wyjściowej jest równy 3, tej macierz 2, więc mamy jedną klatkę Jordana o rozmiarze równym lub większym 1
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}-4&4&0\\2&-2&0\\1&3&0\end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{ccc}-4&4&0\\2&-2&0\\1&3&0\end{array}\right]= \left[\begin{array}{ccc}-24&-24&0\\-12&12&0\\2&-2&0\end{array}\right]}\)
Więc mamy 2-1 klatek Jordana o rozmiarze większym lub równym 2
\(\displaystyle{ M(\phi-5)=\left[\begin{array}{ccc}2&4&0\\2&4&0\\1&3&6\end{array}\right]}\)
mamy 3-2 klatek Jordana o rozmiarze większym lub równym 1
\(\displaystyle{ M(\phi-5)=\left[\begin{array}{ccc}2&4&0\\2&4&0\\1&3&6\end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{ccc}2&4&0\\2&4&0\\1&3&6\end{array}\right ]= \left[\begin{array}{ccc}24&24&0\\24&24&0\\14&25&36\end{array}\right]}\)
No i mamy 2-2= 0 klatek Jordana o większym rozmiarze niż 1
Więc macierze w postaci Jordana jest równa:
\(\displaystyle{ M(\phi-5)=\left[\begin{array}{ccc}1&1&0\\0&1&0\\0&0&-5\end{array}\right]}\)

No i teraz pojawia się właśnie ten problem ile tych wektorów wziąć.. nie dość, że klatki nie są tego samego wymiaru to jeszcze są inne wartości własne :-/

[Zordon]

ważna jest też krotność pierwiastków, tyle ile wynosi krotność pierwiastka tyle razy wystąpi on na diagonali z postaci Jordana.
Co do przykładu wyżej, to 1 jest pierwiastkiem dwukrotnym więc będzie: albo 1 klatka rozmiaru 2, albo dwie klatki pojedyncze, zależy od wymiaru przestrzeni \(\displaystyle{ ker(\phi-1)}\).
-5 jest pojedynczym pierwiastkiem zatem na 100% bedzie jedna mala klatka, wektor bazowy znajdziemy wybierając dowolny z przestrzeni \(\displaystyle{ ker(\phi+5)}\)

[corax]

Teraz to nie rozumiem, wcześniej miałem nie wybierać wektorów z \(\displaystyle{ ker(\phi- \lambda I)}\), a teraz mam? Hmm... jeszcze pomyśle, ale wątpię, żeby mi się udało to rozwiązać...

[Zordon]

Teraz to nie rozumiem, wcześniej miałem nie wybierać wektorów z \(\displaystyle{ ker(\phi- \lambda I)}\), a teraz mam? Hmm... jeszcze pomyśle, ale wątpię, żeby mi się udało to rozwiązać...

wszystko zależy od wielkości klatek