Matematyka.pl

Z góry przepraszam jeśli będą tu jakieś zadania, które zostały już wcześniej rozwiązane na forum.
Mam nadzieję, że nie będą zbyt łatwe:

1.Dany jest pięciokąt wypukły \(\displaystyle{ ABCDE}\). Wykazać, że suma pól pewnych czterech spośród trójkątów \(\displaystyle{ ABC , BCD ,CDE ,DEA ,EAB}\) jest większa od pola pięciokąta \(\displaystyle{ ABCDE}\).

2.Każdy punkt przestrzeni został pomalowany na jeden z trzech kolorów. Udowodnić, że istnieje taki kolor, powiedzmy \(\displaystyle{ X}\), że dla każdej liczby rzeczywistej \(\displaystyle{ r>0}\) istnieje odcinek długości \(\displaystyle{ r}\) o końcach koloru \(\displaystyle{ X}\).

3.Udowodnić, że istnieje zbiór \(\displaystyle{ D}\) różnych liczb naturalnych o mocy \(\displaystyle{ 2009}\) spełniający warunek : \(\displaystyle{ a,b \in D \Rightarrow a-b|a+b}\).

4.Czworokąt \(\displaystyle{ ABCD}\) jest wpisany w okrąg. Udowodnić, że środki okręgów wpisanych w trójkąty \(\displaystyle{ ABC ,BCD ,CDA ,DAB}\) są wierzchołkami prostokąta.

limes123 pisze:Skoro 4 juz bylo to dodam cos czego chyba jeszcze nie bylo.
Jesli oznaczymy promienie tych okregow wpisanych kolejno przez \(\displaystyle{ r_a,r_b,r_c,r_d}\) to udowodnic, ze \(\displaystyle{ r_a+r_c=r_b+r_d}\).

5.Rozstrzygnąć, czy istnieje funkcja \(\displaystyle{ f}\) przekształcająca zbiór liczb naturalnych w zbiór liczb naturalnych taka, że dla każdego naturalnego \(\displaystyle{ n}\) zachodzi : \(\displaystyle{ f(f(n))=n^2}\) ?

6.Wśród 1025 miast każde dwa są połączone jedną z dziesięciu linii lotniczych. Udowodnić, że można zrobić 'wycieczkę' która się zaczyna i kończy w tym samym mieście a przy okazji jej długość jest liczbą nieparzystą (długość to ilość bezpośrednich przelotów z jednego miasta do innego).

7.Rozstrzygnąć, czy istnieje taka liczba naturalna \(\displaystyle{ n}\), że liczba \(\displaystyle{ 5^n}\) ma w swoim zapisie dziesiętnym co najmniej miliard zer pod rząd.

8.Liczby \(\displaystyle{ x,y, \frac{x^2+y^2+6}{xy}}\) są całkowite. Udowodnić, ze \(\displaystyle{ \frac{x^2+y^2+6}{xy}}\) jest sześcianem liczby całkowitej.

9.Dany jest odcinek długości \(\displaystyle{ a}\) ,okrąg z zaznaczonymi dwoma niemającymi punktów wspólnych cięciwami \(\displaystyle{ AB}\) i \(\displaystyle{ CD}\). Skonstruować na łuku \(\displaystyle{ CD}\) (niezawierającym punktów \(\displaystyle{ A,B}\)) taki punkt \(\displaystyle{ X}\), że odcinki \(\displaystyle{ AX,BX}\) wycinają w odcinku \(\displaystyle{ CD}\) odcinek długości \(\displaystyle{ a}\) (zakładamy, że taki punkt istnieje, tj. \(\displaystyle{ a}\) nie jest zbyt duże).

10.Na każdym polu nieskończonej szachownicy napisano liczbę całkowitą, przy czym wszystkie napisane liczby są różne. Udowodnić, że dla każdej liczby rzeczywistej \(\displaystyle{ d}\) istnieją dwa pola mające wspólnych bok, że różnica liczb na nich napisanych jest większa niż \(\displaystyle{ d}\).

Mam nadzieję, że się nigdzie nie pomyliłem, pozdrawiam

Dobrze jest siódme? Bo chyba \(\displaystyle{ 5^n}\) się kończy zawsze piątką... Czy może coś źle rozumiem?

oh fajny mix, niektóre z tych zadań jakby dla mnie brzmi znajomo.... i tak np
ad 4

2.

frej pisze:Dobrze jest siódme? Bo chyba \(\displaystyle{ 5^n}\) się kończy zawsze piątką... Czy może coś źle rozumiem?

Przepraszam, już poprawiam.

waral:owszem, ale nie znaczy to, że wszystkie odcinki długości 3r mają końce tego samego koloru co wszystkie inne. Nie wystarczy pokazać, że dla każdego r istnieje odcinek o jednokolorowych końcach.
Może powiem inaczej: powiedzmy, że użyliśmy kolorów A,B,C. Masz pokazać, że jeśli istnieje taka liczba a>0, że nie istnieje odcinek długości a o obu końcach koloru A i istnieje taka liczba b>0, że nie istnieje odcinek długości b o obu końcach koloru B, to dla każdego c>0 istnieje odcinek o długości c i obu końcach koloru C.

10

XMaS11 pisze: 5.Rozstrzygnąć, czy istnieje funkcja \(\displaystyle{ f}\) przekształcająca zbiór liczb naturalnych w zbiór liczb naturalnych taka, że dla każdego naturalnego \(\displaystyle{ n}\) zachodzi : \(\displaystyle{ f(f(n))=n^2}\) ?

Niby wychodzi \(\displaystyle{ f(n)= n^{ \sqrt{2}}}\) albo \(\displaystyle{ f(n)= n^{- \sqrt{2}}}\)

No ale na mój gust zbiór wartości f(n) to nie jest zbiór liczb naturalnych

Przeciwdziedzina nie jest podziorem zbioru liczb naturalnych.
Edit: wystarczy żeby to był podzbiór...

Skoro 4 juz bylo to dodam cos czego chyba jeszcze nie bylo.
Jesli oznaczymy promienie tych okregow wpisanych kolejno przez \(\displaystyle{ r_a,r_b,r_c,r_d}\) to udowodnic, ze \(\displaystyle{ r_a+r_c=r_b+r_d}\).

ad 5

zad 5
Nie wczytywałem się w rozwiązanie mol_ksiazkowy. Zamieszczam swoje (chyba inne):

SchmudeJanusz pisze:

Zad.2:    

Udowodnileś, że jeżeli płaszczyznę pomalujemy na dwa kolory, to zawsze znajdą się dwa punkty oddalone o dowolne x pomalowane tym samym kolorem. W mojej opinii średnio się to ma do zadania...

Owszem, ale kolega udowodnił też coś więcej... i rzeczywiście rozwiązanie w przestrzeni, przynajmniej moje jest w zasadzie takie samo. Jest potrzeba, żeby je wrzucać ?

8