Forum matematyczne: miliony postów, setki tysięcy tematów, dziesiątki tysięcy użytkowników - pomożemy rozwiązać każde zadanie z matematyki https://matematyka.pl/
Czy mógłby ktoś streścić rozwiązanie zadania 1 w grupie dla LO?
Konkurs matematyka.pl
: 11 lip 2009, o 09:11
autor: Wasilewski
Max:
1) Zachodzi równość w nierówności Schwarza dla funkcji \(\displaystyle{ x\sqrt{f(x)} \ i \ \sqrt{f(x)}}\); wniosek ten sam.
3) Dowodziłem indukcyjnie, że jeśli \(\displaystyle{ |a_{jj}| > |a_{j1}| + \ldots + |a_{j,j-1}| + |a_{j,j+1}| + \ldots + |a_{jn}|}\), to \(\displaystyle{ detA \neq 0}\).
Ja jednak patrzę na te zadania z perspektywy tegorocznego maturzysty, więc dla mnie one trywialne nie były.
Konkurs matematyka.pl
: 11 lip 2009, o 10:01
autor: enigm32
Przemas O'Black pisze:Czy mógłby ktoś streścić rozwiązanie zadania 1 w grupie dla LO?
Ad. 1.
Pomińmy na razie założenia i rozwiążmy układ metodą analizy starożytnych - na końcu sprawdzimy otrzymane rozwiązania i ewentualnie odrzucimy pierwiastki obce.
Zauważmy, że wartość największa, którą przyjmuje wyrażenie \(\displaystyle{ W(t)=-t^2+t=-t(t-1)}\) wynosi \(\displaystyle{ W(\frac{1}{2})=\frac{1}{4}}\). Zatem wartość wyrażenia \(\displaystyle{ \sqrt{xy-x^2y^2}}\) nie przekracza \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\). (*) \(\displaystyle{ \begin{cases} y^6+y^3+2x^2=\sqrt{xy-x^2y^2} \Rightarrow y^3=\sqrt{xy-x^2y^2}-y^6-2x^2 \\ 4xy^3+y^3+\frac{1}{2} \ge 2x^2+\sqrt{1+(2x-y)^2} \end{cases} \\
\begin{cases} y^3=\sqrt{xy-x^2y^2}-y^6-2x^2\\ 4xy^3-y^6-2x^2+\frac{1}{2}-2x^2 \ge \sqrt{1+(2x-y)^2}-\sqrt{xy-x^2y^2} \end{cases}}\)
Zauważmy, że wartość wyrażenia znajdującego się po lewej stronie powyższej nier. nie przekracza \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\). Rozważając bowiem trójmian kwadratowy zmiennej x \(\displaystyle{ T(x)=-4x^2+4y^3x-y^6+\frac{1}{2}}\), mamy, że jego wyróżnik \(\displaystyle{ \Delta =16y^2-16y^2+8=8}\), a wartość największa przyjmowana w wierzchołku paraboli będącej wykresem trójmianu wynosi \(\displaystyle{ q=\frac{1}{2}}\).
Wartość wyrażenia znajdującego się po prawej stronie naszej nierówności m.in. na mocy spostrzeżenia (*) jest niemniejsza niż \(\displaystyle{ 1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}}\).
Ostatecznie zatem, aby nierówność była prawdziwa musi być, że: \(\displaystyle{ 4x^2+4y^3x-y^6+\frac{1}{2}=\sqrt{1+(2x-y)^2}-\sqrt{xy-x^2y^2}=\frac{1}{2}}\)
Równanie \(\displaystyle{ -4x^2+4y^3x-y^6=0}\) rozwiążmy ze względu na zmienną x: \(\displaystyle{ \Delta=0 \\
x=\frac{1}{2}y^3}\)
Druga równość zajdzie oczywiście tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ \sqrt{1+(2x-y)^2}=1}\) oraz \(\displaystyle{ \sqrt{xy-x^2y^2}=\frac{1}{2}}\), co szybko daje nam dwie pary "kandydatów" na rozwiązania: \(\displaystyle{ (-\frac{1}{2};-1);\ (\frac{1}{2};1)}\).
Sprawdzamy, czy rozwiązania te spełniają układ warunków podany w treści zadania i otrzymujemy szukaną parę. Odp.:\(\displaystyle{ \begin{cases} x=-\frac{1}{2} \\ y=-1 \end{cases}}\).
Konkurs matematyka.pl
: 11 lip 2009, o 12:11
autor: Inkwizytor
@enigm32
[rzęsiste brawa] Sam zrobiłem tak na oko 75% tego zadania (ciekawe jak mi to ocenią). Udowodniłem że x,y są tego samego znaku, że prawa strona równania ograniczona, etc.
Co prawda nie startowałem z I kat. ale zastanawiam się czy by mi uznano rozwiązanie zadanie 5 bez rysunku, które można opisać dosłownie w 3 zdaniach:
1. pierwsze równanie to inaczej left|y
ight| = left|x
ight| z punktem przecięcia w (0,0)
2. drugie to okrąg o S=(k,0) i promieniu 1
3. Aby były 3 punkty wspólne to przecięcie pierwszego wykresu musi należeć do okręgu, a ponieważ promień 1, to k=1 lub k=-1
Czy robiliście rysunki?
Konkurs matematyka.pl
: 11 lip 2009, o 12:45
autor: enigm32
Inkwizytor pisze:
Sam zrobiłem tak na oko 75% tego zadania (ciekawe jak mi to ocenią). Udowodniłem że x,y są tego samego znaku, że prawa strona równania ograniczona, etc.
Jeśli rzeczywiście masz 75%, to dostaniesz 2 pkt.
Konkurs matematyka.pl
: 11 lip 2009, o 13:47
autor: Artist
A podzieli się ktoś wynikami kategorii II zad. 4. Mi kosmos wychodził. A w pierwszym zapomiałem jednego przypadku rozpatrzyć i wysłałem brak rozwiązań.
Konkurs matematyka.pl
: 11 lip 2009, o 14:16
autor: lina2002
Artist pisze:A podzieli się ktoś wynikami kategorii II zad. 4. Mi kosmos wychodził. A w pierwszym zapomiałem jednego przypadku rozpatrzyć i wysłałem brak rozwiązań.
Moje rozwiązanie wyglądało tak:
4. \(\displaystyle{ \overline {\overline \Omega}=31^{25}}\) (wariacja \(\displaystyle{ 25}\)-wyrazowa zbioru \(\displaystyle{ 31}\)-elementowego z powtórzeniami, wartość \(\displaystyle{ f(1)}\) wybieramy na \(\displaystyle{ 31}\) sposobów, wartość \(\displaystyle{ f(2)}\) na \(\displaystyle{ 31}\) sposobów,..., wartość \(\displaystyle{ f(25)}\) na \(\displaystyle{ 31}\) sposobów)
a) \(\displaystyle{ A}\) - wybrana funkcja będzie rosnąca \(\displaystyle{ \overline{ \overline A}= {31 \choose 25}}\) - wybieramy \(\displaystyle{ 25}\) różnych liczb z \(\displaystyle{ 31}\) nie biorąc pod uwagę kolejności wybierania (ponieważ funkcja rosnąca jest oczywiście różnowartościowa), mnożymy to przez \(\displaystyle{ 1}\), ponieważ tylko w jeden sposób można te liczby ustawić w ciągu rosnącym.
b) \(\displaystyle{ B}\)-maksimum funkcji \(\displaystyle{ f}\) wynosi \(\displaystyle{ 10}\) \(\displaystyle{ \overline {\overline B}=10^{25}}\) (wariacja \(\displaystyle{ 25}\)-wyrazowa zbioru \(\displaystyle{ 10}\)-elementowego z powtórzeniami, ponieważ funkcja może przyjmowac tylko wartości w zakresie od \(\displaystyle{ 1}\) do \(\displaystyle{ 10}\))
\(\displaystyle{ P(B)= (\frac{10}{31} )^{25}}\)
c) \(\displaystyle{ C}\)-zbiór wartości funkcji \(\displaystyle{ f}\) jest dwuelementowy \(\displaystyle{ \overline {\overline C}= {31 \choose 2} (2^{15}-2)}\) - wybieramy najpierw dwa elementy, które bedą w zbiorze wartości funkcji. Następnie wybieramy wartość \(\displaystyle{ f(1)}\) na \(\displaystyle{ 2}\) sposoby (bo wybieramy jeden z tych dwóch elementów), wartość \(\displaystyle{ f(2)}\) na \(\displaystyle{ 2}\) sposoby,..., wartość \(\displaystyle{ f(25)}\) na \(\displaystyle{ 2}\) sposoby, czyli z reguły mnożenia możemy wybrać wartości tej funkcji na \(\displaystyle{ 2^{25}}\) sposobów. Musimy jednak wykluczyć dwa przypadki, gdy wybraliśmy ten sam element dla wszystkich wartości funkcji, bo wtedy zbiór wartości byłby jednoelementowy.
Tak więc otrzymujemy: \(\displaystyle{ P(C)= \frac{ {31 \choose 2}(2^{25}-2) }{31^{25}}}\)
Konkurs matematyka.pl
: 11 lip 2009, o 14:59
autor: frej
Niestety masz chyba błąd lina2002.
b) \(\displaystyle{ \overline{\overline{B}}=10^{25}-9^{25}}\)
Wszystkie opcje wyboru z \(\displaystyle{ \{ 1,2, \ldots , 10\}}\) minus \(\displaystyle{ \{ 1,2, \ldots , 9\}}\), bo co najmniej jedna dziesiątka musi być !
c) mam tak jak Ty, ale z tego co pamiętam, to po wysłaniu doszedłem do tego, że trzeba podzielić jeszcze przez \(\displaystyle{ 2}\), bo cośtam liczymy podwójnie, ale nie pamiętam jak to szło. Może nawet doszedłem do złego wniosku z tym dzieleniem przez dwa...
Ja rozwiązania oddałem w sobotę koło południa, ale nie sprawdziłem rozwiązań i z tego co pamiętam to w trzecim wychodził taki wzór \(\displaystyle{ a_n=2^{n+2}-7}\) a ja napisałem \(\displaystyle{ 2^{n+3}}\) i się lekko pomyliłem, ale błąd był na początku, więc może być nawet zero za trzecie
Ogólnie poziom zadań sporo za niski moim zdaniem, ale to tylko moje zdanie. Osobiście wolałbym naprawdę powalczyć z tymi zadaniami, a spora większość była na poziomie maturalnym / szkolnym... Niestety głupie błędy m.in. takie jak wyżej sprawiły, że nawet mogę osiągnąć poziom 18/30 pkt.
Tylko pierwsze było ciekawe, ale spodziewałem się takich zadań, żeby ci lepsi je zrobili, a ja żebym z nimi powalczył choć parę dobrych dni. Wtedy rzeczywiście najlepsi by wygrali, a tak to pewnie niektórym nie chciało się nawet startować, tak przypuszczam.
To moje rozwiązania ( możliwe są błędy, bo nie sprawdzałem tych rozwiązań ):
Ukryta treść:
zad.1
Niech para liczb \(\displaystyle{ (x,y)}\) będzie rozwiązaniem równania. Wtedy \(\displaystyle{ 4xy^3 + y^3 + \frac{1}{2} \ge 2x^2 + \sqrt{1+(2x-y)^2} \ge 2x^2 + 1 \\ y^6+y^3+2x^2=\sqrt{xy-x^2y^2}=\sqrt{\frac{1}{4}-(\frac{1}{2}-xy)^2} \le \frac{1}{2}}\)
stąd po dodaniu nierówności mamy \(\displaystyle{ 2x^2+1+y^6+y^3+2x^2 \le 4xy^3+y^3+\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}\) \(\displaystyle{ (2x-y^3)^2 \le 0}\)
czyli \(\displaystyle{ x=\frac{y^3}{2}}\) oraz wszystkie nierówności stają się równościami, bo \(\displaystyle{ (2x-y^3)^2\ge 0}\), czyli w ostatnim kroku zachodzi równość. Mamy zatem \(\displaystyle{ 4\frac{y^3}{2}y^3 + y^3 + \frac{1}{2} = \frac{y^6}{2} +1}\)
czyli \(\displaystyle{ 3y^6+2y^3-1=0}\) \(\displaystyle{ (y^3+1)(3y^3-1)=0}\) \(\displaystyle{ \begin{cases} y=-1 \\ x=\frac{-1}{2} \end{cases} \quad \vee \quad \begin{cases} y=\sqrt[3]{\frac{1}{3}} \\ x=\frac{1}{6} \end{cases}}\)
Pierwsza para jest rozwiązaniem drugiego równania, zaś druga już nie. Ostatecznie otrzymujemy, że jedyną taką parą liczb jest \(\displaystyle{ (x,y)=(-\frac{1}{2}, -1)}\)
zad.2 \(\displaystyle{ x}\) - masa pierwszego stopu \(\displaystyle{ y}\) - masa drugiego stopu
Trzeci stop zawiera zatem \(\displaystyle{ \frac{x}{3} + \frac{3}{8} y}\) miedzi oraz \(\displaystyle{ \frac{2}{3}x + \frac{5}{8}y}\) cynku. Aby metale były w stosunku \(\displaystyle{ 5:9}\) musi zachodzić \(\displaystyle{ 9(\frac{x}{3} + \frac{3}{8} y) = 5( \frac{2}{3} x + \frac{5}{8} y)}\) \(\displaystyle{ \frac{y}{4}=\frac{x}{3}}\) \(\displaystyle{ y=\frac{4}{3}x}\) odp. drugiego stopu musi być \(\displaystyle{ \frac{4}{3}}\) razy więcej niż pierwszego.
zad.3
Udowodnimy indukcyjnie, że \(\displaystyle{ u_n=2^{n+3}-7}\). Dla \(\displaystyle{ n=1}\) jest to prawdziwe. Załóżmy, że jest to prawdziwe dla \(\displaystyle{ \mathbb{N} \ni k \ge 2}\). Wtedy, dla \(\displaystyle{ k+1}\) mamy \(\displaystyle{ u_{k+1}=2u_k+7 = 2( 2^{k+3} -7 ) +7= 2^{(k+1)+3}-7}\), więc na mocy zasady indukcji matematycznej jest to prawdą dla wszystkich liczb naturalnych. Przejdźmy teraz do sedna zadania. \(\displaystyle{ 2^{n+3}-7<9001}\) \(\displaystyle{ 2^{n+3} < 9008}\) \(\displaystyle{ 2^n < 1126}\)
Zatem największą taką liczbą naturalną jest \(\displaystyle{ n_0=\left[ \log_{2} 1126 \right] =10}\)
odp. Największą taką liczbą jest \(\displaystyle{ 10}\).
zad.4
Wszystkich możliwych wyborów funkcji jest \(\displaystyle{ \overline{\overline{\Omega}}=31^{25}}\). Będziemy obliczali zatem tylko liczbę zdarzeń sprzyjających.
a) Zauważmy, że każdy wybór zbioru \(\displaystyle{ 25}\) różnych liczb spośród \(\displaystyle{ 31}\) generuje nam taką funkcję, bo ustawiając te wybrane liczby w porządku rosnącym, na dokładnie jeden sposób jesteśmy w stanie przyporządkować te wartości argumentom tak, żeby otrzymać funkcję rosnącą. Odwrotnie każda taka rosnąca funkcja generuje \(\displaystyle{ 25}\)-elementowy zbiór wartości, zatem funkcja przyporządkowująca danej funkcji zbiór wartości jest bijekcją. Liczba wyboru takiego \(\displaystyle{ 25}\) elementowego zbioru jest równa oczywiście \(\displaystyle{ {31\choose 25 }}\)
b) Niech \(\displaystyle{ k=1,2,3,\ldots 25}\) spośród argumentów funkcji ma wartość \(\displaystyle{ 10}\). Wybieramy je na \(\displaystyle{ { 25 \choose k}}\) sposobów. Dla pozostałych \(\displaystyle{ 25-k}\) argumentów wybieramy wartość ze zbioru \(\displaystyle{ \{ 1,2,\ldots , 9\}}\). Wszystkich takich funkcji jest zatem \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{25} {25 \choose k} 9^{25-k} =\left( \sum_{k=0}^{25} {25 \choose k} 1^k \cdot 9^{25-k} \right) - 9^{25}= 10^{25}-9^{25}}\)
c) Na \(\displaystyle{ {25 \choose 2}}\) sposobów wybieramy zbiór wartości. Dla \(\displaystyle{ k=1,2,3,\ldots 24}\) wybieramy argumenty , dla których wartość funkcji jest równa pierwszej z dwóch wybranych na początku liczb na \(\displaystyle{ {25\choose k}}\) sposobów. W sumie takich funkcji jest zatem \(\displaystyle{ {25 \choose 2} \sum_{k=1}^{24} {25 \choose k} = {25 \choose 2} \left( -{25 \choose 0} - {25 \choose 25} + \sum_{k=0}^{25} {25 \choose k} \right) = {25 \choose 2} ( 2^{25}-2)}\)
odp.
Prawdopodobieństwa wynoszą odpowiednio
a) \(\displaystyle{ \frac{{31\choose 25 }}{31^{25}}}\)
b) \(\displaystyle{ \frac{10^{25}-9^{25}}{31^{25}}}\)
c) \(\displaystyle{ \frac{{25 \choose 2} ( 2^{25}-2)}{31^{25}}}\)
zad.5
Załóżmy, że istnieje taka funkcja \(\displaystyle{ f}\). Wtedy
Dla każdego \(\displaystyle{ x\in \mathbb{R} \setminus \{ 0\}}\) mamy \(\displaystyle{ (\star ) \qquad \qquad f(x)+4f\left( \frac{1}{x} \right) = 3x}\)
Podstawiając do \(\displaystyle{ (\star )}\) zamiast \(\displaystyle{ x}\) liczbę \(\displaystyle{ \frac{1}{x}}\) otrzymujemy \(\displaystyle{ ( \star \star ) \qquad \qquad f\left( \frac{1}{x} \right) + 4 \f(x)=\frac{3}{x}}\)
Dodając \(\displaystyle{ (\star )}\) i \(\displaystyle{ (\star \star )}\) otrzymujemy \(\displaystyle{ (\star \star \star ) \qquad \qquad f(x)+ f\left( \frac{1}{x} \right) = \frac{3}{5} \left( x+ \frac{1}{x} \right)}\)
Łącząc \(\displaystyle{ (\star \star)}\) oraz \(\displaystyle{ (\star \star \star )}\) otrzymujemy \(\displaystyle{ \frac{3}{x}=4f(x)+\frac{3}{5} \left( x+ \frac{1}{x} \right) - f(x)}\)
czyli \(\displaystyle{ \boxed{f(x)=\frac{1}{x}-\frac{x}{5}-\frac{1}{5x}}}\)
Łatwo sprawdzamy, że ta funkcja spełnia warunki zadania.
Konkurs matematyka.pl
: 11 lip 2009, o 15:04
autor: lina2002
Racja, mój błąd. Nie pierwszy i pewnie nie ostatni .
A w trzecim rzeczywiście wychodziło \(\displaystyle{ a_{n}=2^{n+2}-7}\).
Zadania faktycznie są raczej szkolne. Oprócz pierwszego, w którym nie wpadłam na to, żeby tę deltę policzyć i wartość największą. Tak sądziłam, że będzie szacowanie od góry i od dołu, ale wymyśliłam tylko tyle, że \(\displaystyle{ \frac{xy+1-xy}{2} \ge \sqrt{xy-(xy)^2}}\) (Am-Gm), to nawet wysyłać tego nie było sensu .
-- 11 lipca 2009, 15:18 --
Potwierdzam wynik w drugim i piątym. W \(\displaystyle{ 5. c)}\) nie powinieneś mieć \(\displaystyle{ {31 \choose 2}}\) zamiast \(\displaystyle{ {25 \choose 2}}\)?
Konkurs matematyka.pl
: 11 lip 2009, o 15:37
autor: mol_ksiazkowy
Zadania były szkolne ("szkolne++ ")- bo takie było chyba załozenie., Biorąc pod uwage te ciekawe opinie mozna załozyc iż zdecydowanie pownna byc jeszcze czwarta kategoria w niniejszym konkursie: Kategoria IV - Olimpijczyk
Konkurs matematyka.pl
: 11 lip 2009, o 17:07
autor: kubek1
Frej, nie martw się W moich rozwiązaniach też jest parę błędów, jak np. w 4c. Zadanie 1 do pewnego momentu robiłem tak jak Ty, wykazałem tam pewien lemat, który dla mnie nie był zbyt oczywisty, ale się udało
Zadania jak dla mnie, podobnie jak dla innych, mogłyby być ciut trudniejsze, np. nie powinno być zad. 2 (pamiętam je z innego konkursu, w którym brałem udział). Ogólnie jednak fajna jest idea konkursu i możliwość zmierzenia się z innymi użytkownikami forum
Moje rozwiązania:
Ukryta treść:
1. Zanim przejdę do rozwiązania zadania, wykażę lemat:
Jeżeli dla dowolnych funkcji zmiennych rzeczywistych \(\displaystyle{ f(x,y), g(x,y)}\) zachodzą wszystkie z poniższych trzech warunków: \(\displaystyle{ f(x,y) \le 0}\)(1) \(\displaystyle{ g(x,y) \le 0}\)(2) \(\displaystyle{ f(x,y)+g(x,y) \ge 0}\)(3)
to:\(\displaystyle{ f(x,y)=g(x,y)=0}\)
Dowód lematu:
Sumując równości (1) i (2), mamy: \(\displaystyle{ f(x,y)+g(x,y) \le 0}\)
Stąd i z (3): \(\displaystyle{ f(x,y)+g(x,y)=0}\)(4) ,czyli: \(\displaystyle{ f(x,y)=-g(x,y)}\)
Wstawiając tą równość do (1), mamy: \(\displaystyle{ g(x,y) \ge 0}\)
Stąd i na mocy (2): \(\displaystyle{ g(x,y)=0}\)
Zatem z (4) mamy: \(\displaystyle{ f(x,y)=0}\), a więc: \(\displaystyle{ f(x,y)=g(x,y)=0}\), c.n.d.
Wniosek z lematu: jeżeli mamy do rozwiązania układ dwóch nierówności słabych i je zsumujemy i jeżeli na mocy pewnej innej nierówności słabej wynika nierówność tej samej postaci, co po zsumowaniu poprzednich, lecz z przeciwnym znakiem nierówności słabej, to w danych nierównościach zachodzi równość.
Przejdźmy teraz do rozwiązania zadania. \(\displaystyle{ \begin{cases} y^6+y^3+2x^2=\sqrt{xy-x^2y^2} (1)\\4xy^3+y^3+\frac{1}{2} \geq 2x^2+\sqrt{1+(2x-y)^2}(2)\end{cases}}\)
Ponieważ z własności funkcji kwadratowej maksimum funkcji: \(\displaystyle{ f(t)=t-t^2}\) wynosi \(\displaystyle{ \frac{1}{4}}\), gdy \(\displaystyle{ t=\frac{1}{2}}\) więc: \(\displaystyle{ \sqrt{xy-x^{2}y^{2}} \le \sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}}\)(równość zachodzi, gdy\(\displaystyle{ xy=\frac{1}{2}}\)) ,zatem z (1): \(\displaystyle{ y^{6}+y^{3}+2x^{2} \le \frac{1}{2}}\)(3)
Ponieważ \(\displaystyle{ a^2\ge 0}\), więc:\(\displaystyle{ \sqrt{1+(2x-y)^2} \ge \sqrt{1+0}=1}\), zatem z (2) mamy: \(\displaystyle{ 4xy^3+y^3+\frac{1}{2} \geq 2x^2+\sqrt{1+(2x-y)^2} \ge 2x^2+1}\)(4) (równość w drugim przejściu zachodzi, gdy \(\displaystyle{ 2x-y=0}\))
Sumując (3) i (4), mamy: \(\displaystyle{ y^6-4xy^3+4x^2 \le 0}\), czyli ze wzorów skróconego mnożenia: \(\displaystyle{ (y^{3}-2x)^{2} \le 0}\), lecz oczywiście:\(\displaystyle{ (y^{3}-2x)^{2} \ge 0}\), zatem \(\displaystyle{ y^3=2x}\)(5) oraz na mocy wniosku z lematu w nierównościach (3) i (4) zachodzi równość, co oznacza tym samym, że:\(\displaystyle{ xy=\frac{1}{2}}\)(6) oraz \(\displaystyle{ 2x-y=0}\)(7).
Na mocy (5) i (7): \(\displaystyle{ y^3=y}\), czyli:\(\displaystyle{ (y-1)(y+1)y=0}\), skąd:\(\displaystyle{ y=-1 \vee y=0 \vee y=1}\). Zauważmy, że z (6) wynika, że \(\displaystyle{ y \neq 0}\), stąd zostaje:\(\displaystyle{ y=-1 \vee y=1}\). Gdyby \(\displaystyle{ y=1}\), to \(\displaystyle{ x=\frac{1}{2}}\), lecz wtedy w równaniu (1) zaszłaby równość:\(\displaystyle{ \frac{5}{2}=\frac{1}{2}}\), co daje sprzeczność. Jeżeli \(\displaystyle{ y=-1}\), to \(\displaystyle{ x=-\frac{1}{2}}\) i wtedy, jak łatwo sprawdzić układ warunków z zadania jest spełniony.
Odp.\(\displaystyle{ x=-\frac{1}{2} \wedge y=-1}\)
2. Niech stop 1 będzie stopem, w którym stosunek miedzi do cynku wynosi 1:2, stop 2 stopem, w którym stosunek miedzi do cynku wynosi 3:5, zaś stop końcowy niech będzie stopem po zmieszaniu stopów 1 i 2, w którym stosunek miedzi do cynku wynosi 5:9
Oznaczmy: \(\displaystyle{ m_{1}}\) -masa stopu 1 \(\displaystyle{ m_{2}}\) -masa stopu 2 \(\displaystyle{ m_{k}=m_{1}+m_{2}}\) -masa stopu końcowego \(\displaystyle{ m_{m1}}\) -masa miedzi w stopie 1 \(\displaystyle{ m_{m2}}\) -masa miedzi w stopie 2 \(\displaystyle{ m_{mk}}\) -masa miedzi w stopie końcowym \(\displaystyle{ c_{1}}\) - stosunek masy miedzi do masy stopu w stopie 1 \(\displaystyle{ c_{2}}\) - stosunek masy miedzi do masy stopu w stopie 2 \(\displaystyle{ c_{k}}\) - stosunek masy miedzi do masy stopu w stopie końcowym
Ponieważ stosunek masy miedzi do masy cynku w stopie 1 wynosi 1:2, więc stosunek masy miedzi do masy stopu 1 wynosi 1:3, czyli \(\displaystyle{ c_{1}=\frac{1}{3}}\).
Ponieważ stosunek masy miedzi do masy cynku w stopie 2 wynosi 3:5, więc stosunek masy miedzi do masy stopu 2 wynosi 3:8, czyli \(\displaystyle{ c_{2}=\frac{3}{8}}\).
Ponieważ stosunek masy miedzi do masy cynku w stopie końcowym wynosi 5:9, więc stosunek masy miedzi do masy stopu końcowego wynosi 5:14, czyli \(\displaystyle{ c_{k}=\frac{5}{14}}\).
Teraz zauważamy, że masa miedzi to nic innego jak iloczyn masy stopu i stosunku masy miedzi do masy stopu, czyli: \(\displaystyle{ m_{m1}=m_{1} \cdot c_{1}}\) \(\displaystyle{ m_{m2}=m_{2} \cdot c_{2}}\) \(\displaystyle{ m_{mk}=m_{k} \cdot c_{k}=(m_{1}+m_{2}) \cdot c_{k}}\)
Ponadto suma mas miedzi w stopach przed zmieszaniem jest równa masie miedzi w otrzymanym stopie, czyli: \(\displaystyle{ m_{m1}+m_{m2}=m_{mk}}\), a więc otrzymujemy równanie: \(\displaystyle{ m_{1}c_{1}+m_{2}c_{2}=(m_{1}+m_{2})c_{k}}\) \(\displaystyle{ m_{1}(c_{1}-c_{k})=m_{2}(c_{k}-c_{2})}\)
Stąd: \(\displaystyle{ \frac{m_{1}}{m_{2}}=\frac{c_{k}-c_{2}}{c_{1}-c_{k}}=\frac{\frac{5}{14}-\frac{3}{8}}{\frac{1}{3}-\frac{5}{14}}=\frac{\frac{-2}{8}}{\frac{-1}{3}}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}}\)
Odp. Stopy 1 i 2 należy zmieszać w stosunku 3:4.
3. Ponieważ \(\displaystyle{ u_{n+1}=2u_n +7}\), więc: \(\displaystyle{ u_{n+2}=2u_{n+1} +7}\).Odejmując te dwa równania stronami, mamy: \(\displaystyle{ u_{n+2}-3u_{n+1}+2u_{n}=0}\)
Wobec powyższego równania rekurencyjnego równaniem charakterystycznym ciągu \(\displaystyle{ (u_n)}\) jest: \(\displaystyle{ r^2-3r+2=0}\) \(\displaystyle{ \Delta=9-4*2=1}\)
Stąd:\(\displaystyle{ \sqrt{\Delta} =1}\) \(\displaystyle{ r_1=(3-1)/2=1, \ r_2=(3+1)/2=2}\)
Wzór ogólny ciągu \(\displaystyle{ (u_n)}\) ma więc postać: \(\displaystyle{ u_n=Ar_{1}^{n}+Br_{2}^{n} =A* 1^{n}+B*2^{n}=A+2^{n}*B}\)
Z równania rekurencyjnego ciągu otrzymujemy:\(\displaystyle{ u_{2}=2u_{1}+7=2+7=9}\).
Zatem, korzystając z równania ogólnego: \(\displaystyle{ u_1=A+2B=1}\) \(\displaystyle{ u_2=A+4B=9}\)
Stąd otrzymujemy:\(\displaystyle{ A=-7, \B=4}\), zatem: \(\displaystyle{ u_n=4*2^{n}-7}\)
Wykażę indukcyjnie, że powyższy wzór jest prawdziwy. Dla n=1 i n=2 wzór jest oczywiście prawdziwy.
Założenie indukcyjne: \(\displaystyle{ u_{k}=4*2^{k}-7}\) dla pewnego \(\displaystyle{ k \in N}\)
Teza indukcyjna: \(\displaystyle{ u_{k+1}=4*2^{k+1}-7}\)
Dowód indukcyjny:
Ze wzoru rekurencyjnego mamy: \(\displaystyle{ u_{k+1}=2u_{k}+7=2*(4*2^{k}-7)+7=8*2^{k}-14+7=4*2^{k+1}-7}\)
Stąd widać, że teza indukcyjna jest spełniona, czyli: \(\displaystyle{ u_n=4*2^{n}-7}\), c.n.d.
Teraz znajdę największą liczbę naturalną \(\displaystyle{ n}\) taką, że \(\displaystyle{ u_{n}<9001}\). Ze wzoru ogólnego ciągu mamy: \(\displaystyle{ 4*2^{n}-7<9001}\) \(\displaystyle{ 4*2^{n}<9008}\)
Dzieląc obustronnie przez 4, mamy: \(\displaystyle{ 2^{n}<2252}\)
Logarytmując, otrzymujemy: \(\displaystyle{ n<log_{2} 2252}\)
Lecz:\(\displaystyle{ 11,13<log_{2} 2252<11,14}\)
Zatem największą liczbą naturalną \(\displaystyle{ n}\) spełniającą nierówność jest 11.
4. Oczywiście: \(\displaystyle{ |\Omega|=31^{25}}\), gdyż liczba wszystkich zdarzeń elementarnych jest równa 25-elementowych wariacji z powtórzeniami zbioru 31-elementowego
a)Oznaczmy:
A-zdarzenie polegające na tym, że funkcja f jest rosnąca
Zauważmy, że w tym przypadku do zbioru wartości funkcji f nie zalicza się sześć różnych liczb. Liczba możliwych funkcji rosnących jest równa liczbie możliwych różnych ustawień tych sześciu liczb nie należących do zbioru wartości funkcji f, a liczba tych ustawień jest równa liczbie kombinacji 6-elementowych zbioru 31-elementowego. Stąd: \(\displaystyle{ |A|= {31 \choose 6}}\)
Czyli:\(\displaystyle{ P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}=\frac{{31 \choose 6}}{31^{25}}}\)
b)Oznaczmy: \(\displaystyle{ B}\)-zdarzenie polegające na tym, że maksimum funkcji f wynosi 10
Podzielmy zdarzenie B na zdarzenia wykluczające się: \(\displaystyle{ B_1}\)-zdarzenie polegające na tym, że 10 występuje tylko 1 raz i maksimum f wynosi 10 \(\displaystyle{ B_2}\)-zdarzenie polegające na tym, że 10 występuje tylko 2 razy i maksimum f wynosi 10
.
.
. \(\displaystyle{ B_{25}}\)-zdarzenie polegające na tym, że 10 występuje tylko 25 razy i maksimum f wynosi 10
Aby obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia \(\displaystyle{ B_i, \ i \in \{1,2,...,25\}}\), zauważmy, że liczba różnych ustawień liczby 10 w wartościach funkcji wynosi \(\displaystyle{ {25 \choose i}}\), zaś pozostałe 9 liczb jako wartości funkcji f przy pozostałych argumentach funkcji może być ustawione na \(\displaystyle{ 9^{25-i}}\) sposobów, zatem: \(\displaystyle{ |B_{i}|={25 \choose i}9^{25-i}}\) \(\displaystyle{ P(B_{i})=\frac{|B_{i}|}{|\Omega|}=\frac{{25 \choose i}9^{25-i}}{31^{25}}}\)
Ponieważ zdarzenia \(\displaystyle{ B_1,B_2,...,B_{25}}\) wykluczają się, więc, korzystając ze wzoru na prawdopodobieństwo sumy zdarzeń wykluczających się i ze wzoru Newtona, mamy: \(\displaystyle{ P(B)= \sum_{1}^{25}P(B_{i})= \frac{\sum_{1}^{25} {25 \choose i}9^{25-i}}{31^{25}}=\frac{\sum_{0}^{25} {25 \choose i}9^{25-i}*1^{i}-9^{25}}{31^{25}}=\frac{(9+1)^{25}-9^{25}}{31^{25}}=\frac{10^{25}-9^{25}}{31^{25}}}\)
c)Oznaczmy: \(\displaystyle{ C}\)-zdarzenie polegające na tym, że zbiór wartości funkcji f jest dwuelementowy
Zauważmy, że zdarzenie C możemy podzielić na wykluczające się zdarzenia \(\displaystyle{ C_{i,j}, \ i<j \ i,j \in \{1,2,...,31\}}\) takie, że zdarzenie \(\displaystyle{ C_{i,j}}\) oznacza, że \(\displaystyle{ ZW_{f}=\{i,j\}}\). Liczba wszystkich typów zdarzeń rodzaju \(\displaystyle{ C_{i,j}}\) jest równa \(\displaystyle{ {31 \choose 2}}\), ponadto każde zdarzenie typu \(\displaystyle{ C_{i,j}}\) są jednakowo prawdopodobne i wykluczają się, więc: \(\displaystyle{ |C|={31 \choose 2}|C_{1,2}|}\)
Lecz liczba różnych ustawień 2 liczb na 25 miejscach z powtórzeniami jest równa liczbie 25-elementowych wariacji z powtórzeniami zbioru 2-elementowego, więc: \(\displaystyle{ |C_{1,2}|=2^{25}}\)
Czyli: \(\displaystyle{ |C|={31 \choose 2}2^{25}}\)
A więc: \(\displaystyle{ P(C)=\frac{|C|}{| \Omega |}=\frac{{31 \choose 2}2^{25}}{31^{25}}}\)
5. Ponieważ: \(\displaystyle{ f(x)+4f(\frac{1}{x})=3x}\)(1) dla \(\displaystyle{ x \neq 0}\)
więc również: \(\displaystyle{ f(y)+4f(\frac{1}{y})=3y}\) dla \(\displaystyle{ y \neq 0}\)
Biorąc:\(\displaystyle{ y=\frac{1}{x}}\) w powyższym równaniu, mamy: \(\displaystyle{ f(\frac{1}{x})+4f(x)=\frac{3}{x}}\)(2)
Mnożąc równanie (2) przez 4, mamy: \(\displaystyle{ 4f(\frac{1}{x})+16f(x)=\frac{12}{x}}\)
Odejmując od tego równania równanie (1), otrzymamy: \(\displaystyle{ 15f(x)=\frac{12}{x}-3x}\)
Po podzieleniu przez 15 znajdujemy: \(\displaystyle{ f(x)=\frac{4}{5x}-\frac{x}{5}}\)
Jak łatwo sprawdzić, powyższa funkcja spełnia równanie z zadania.
Konkurs matematyka.pl
: 11 lip 2009, o 17:15
autor: frej
Tak, oczywiście w 4c) powinno być u góry \(\displaystyle{ 31}\) a nie \(\displaystyle{ 25}\) Pierwszy raz zabrałem się za przeliczenie zadań 2-5 dopiero po zrobieniu pierwszego, czyli w momencie pisania rozwiązań na czysto, stąd takie niby kosmetyczne błędy. Nie martwię się Trochę tylko szkoda, bo może mogłem zarobić dwie książki... Oceny mają być do wtorku / środy, nie?-- 11 lipca 2009, 17:20 --To chyba byłby dobry pomysł z kategorią Olimpijczyk, mi się podoba. Co prawda nie walczyłbym o książkę, ale przynajmniej satysfakcja ze zrobionego zadania byłaby sporo większa
Konkurs matematyka.pl
: 11 lip 2009, o 17:20
autor: Artist
Zadanie I \(\displaystyle{ \begin{cases} y^{6}+y^{3}+2x^{2}=\sqrt{xy-x^{2}y^{2}} \\
4xy^{3}+y^{3}+\frac{1}{2} \ge 2x^{2}+\sqrt{1+(2x-y)^{2}} \end{cases}}\)
Dodaję teraz prawą stronę równania do lewej strony nierównosci, a lewą równania do prawej nierówności. \(\displaystyle{ \sqrt{xy-x^{2}y^{2}}+4xy^{3}+y^{3}+\frac{1}{2} \ge 2x^{2}+\sqrt{1+(2x-y)^{2}}+y^{6}+y^{3}+2x^{2}}\) \(\displaystyle{ \sqrt{xy-x^{2}y^{2}}+\frac{1}{2} \ge y^{6}+4x^{2}-4xy^{3}+\sqrt{1+(2x-y)^{2}}}\) \(\displaystyle{ \sqrt{xy-(xy)^{2}}+\frac{1}{2} \ge (y^{3}-2x)^{2}+\sqrt{1+(2x-y)^{2}}}\) (*)
Oszacuję teraz lewą stronę z góry:
Obliczam maksyalną wartość wyrażenia \(\displaystyle{ \sqrt{xy-(xy)^{2}}}\).
Kładę \(\displaystyle{ z=xy}\) i otrzymuję funkcję kwadratową pod pierwiastkiem.
Obliczam największą wartość funkcji \(\displaystyle{ f(z)=-z^{2}+z}\) \(\displaystyle{ q=\frac{-\Delta}{4a}=\frac{-1}{-4}=0,25}\)
Mam zatem: \(\displaystyle{ \sqrt{xy-(xy)^{2}}=\sqrt{z-z^{2}} \le \sqrt{0,25}=0,5}\)
Wstawiamy do (*): \(\displaystyle{ 1 \ge \sqrt{xy-(xy)^{2}}+\frac{1}{2} \ge (y^{3}-2x)^{2}+\sqrt{1+(2x-y)^{2}}}\)
Teraz szacuję prawą stronę: \(\displaystyle{ (y^{3}-2x)^{2} \ge 0}\) (równość zachodzi dla \(\displaystyle{ x=y=0}\))** (==tu jest błąd bo nie uwzględniłem przypadku \(\displaystyle{ y=\sqrt[3]{2x}}\) ==) \(\displaystyle{ \sqrt{1+(2x-y)^{2}} \ge 1}\) (równość zachodzi dla \(\displaystyle{ x=y=0}\))** (==tu to samo co wyżej==)
Co razem daje: \(\displaystyle{ (y^{3}-2x)^{2}+\sqrt{1+(2x-y)^{2}} \ge 1}\)
Przy czym równośc zachodzi dla (**)
Mam teraz w połączeniu z (*): \(\displaystyle{ 1 \ge \sqrt{xy-(xy)^{2}}+\frac{1}{2} \ge (y^{3}-2x)^{2}+\sqrt{1+(2x-y)^{2}} \ge 1}\)
Sprawdzam przypadek \(\displaystyle{ x=y=0}\), ale nie spełnia od początkowej nierówności, zatem mam teraz: \(\displaystyle{ 1 \ge \sqrt{xy-(xy)^{2}}+\frac{1}{2} \ge (y^{3}-2x)^{2}+\sqrt{1+(2x-y)^{2}} > 1}\), czyli: \(\displaystyle{ 1>1}\). Sprzeczność, zatem żadną liczba rzeczywista nie spełnia tego układu.
Odp.: Żadna para liczb rzeczywistych nie spełnia podanych warunków.
Zadanie II
Stosunek stopu miedzi i cynku 1:2 oznacza, że: \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\) tego stopu to miedź a \(\displaystyle{ \frac{2}{3}}\) to cynk.
Podobnie zamieniam 3:5 i 5:9 na: \(\displaystyle{ \frac{3}{8}}\) tego stopu to miedź a \(\displaystyle{ \frac{5}{8}}\) to cynk. \(\displaystyle{ \frac{5}{14}}\) tego stopu to miedź a \(\displaystyle{ \frac{9}{14}}\) to cynk.
Oznaczam sobie masę pierwszego stopu za x a drugiego za y.
Wiem, że suma miedzi w pierwzym i drugim stopie musi być równa ilości miedzi w stopie finalnym. \(\displaystyle{ \frac{1}{3}x+\frac{3}{8}y=\frac{5}{14}(x+y)}\)
Nie ma sensu rozpatrywać cynku, gdyż jeśli będzie zgadzała się miedż to zawsze resztę będzie stanowić cynk. \(\displaystyle{ \frac{1}{3}x+\frac{3}{8}y=\frac{5}{14}x+\frac{5}{14}y}\) \(\displaystyle{ \frac{3}{8}y-\frac{5}{14}y=\frac{5}{14}x-\frac{1}{3}x}\) \(\displaystyle{ \frac{21-20}{56}y=\frac{15-14}{42}x}\) \(\displaystyle{ \frac{1}{56}y=\frac{1}{42}x}\) Obie strony mnoże przez 14. \(\displaystyle{ \frac{1}{4}y=\frac{1}{3}x}\) \(\displaystyle{ x=\frac{3}{4}y}\) \(\displaystyle{ \frac{x}{y}=\frac{3}{4}}\)
Odp.: Stop pierwszy i drugi należy wziąć w stosunku 3:4
Zadanie III
Wezmę pod uwagę jakąś liczbę z tego ciągu.
Mam: \(\displaystyle{ u_{n}=2u_{n-1}+7=2(2u_{n-2}+7)+7=2^{2}u_{n-2}+(2+1) \cdot 7=
2^{2}(2u_{n-3}+7)+(2+1) \cdot 7=2^{3}u_{n-3}+(4+2+1) \cdot 7}\)
Zauważam, że liczba przy \(\displaystyle{ u_{n-k}}\) zmienią się razy dwa przy zwiększaniu się n.W sumie gdy dojdę do \(\displaystyle{ u_{1}}\) będzie n-1 dwójek.
Współczynnik przy 7 (tj. 1+2+4+8+......) zwiększa sie o kolejne potęgi dwójki tworząc ciąg geometryczny.
Potęg dwójki jest n-1.Obliczam sumę tego ciągu: \(\displaystyle{ S=1 \cdot \frac{1-2^{n-1}}{1-2}=2^{n-1}-1}\)
Otrzymuję ostatecznie: \(\displaystyle{ u_{n}=2^{n-1}u_{1}+(2^{n-1}-1) \cdot 7=2^{n-1}+7\cdot 2^{n-1}-7=8 \cdot 2^{n-1}-7=2^{n+2}-7}\)
Udowadniam indukcyjnie powyższy wzór:
Sprawdzenie indukcyjne:
Dla n=1: \(\displaystyle{ u_{1}=2^{3}-7=1}\) Zgadza się.
Założenie indukcyjne dla jakiegoś n=k: \(\displaystyle{ u_{k}=2^{n+2}-7}\)
Teza indukcyjna: \(\displaystyle{ u_{k+1}=2^{n+3}-7}\)
Dowód: \(\displaystyle{ u_{k+1}=2u^{k}+7=2(2^{n+2}-7)+7=2^{n+3}-14+7=2^{n+3}-7}\)
c.k.d.
Mamy daną nierówność: \(\displaystyle{ u_{n}<9001}\) \(\displaystyle{ 2^{n+2}-7<9001}\) \(\displaystyle{ 2^{n+2}<9008}\) Dzielę przez 16. \(\displaystyle{ 2^{n-2}<563}\)
Szacuje teraz: \(\displaystyle{ 2^{9}=512<563<1024=2^{10}}\)
Zatem musi być skoro n ma być naturalne: \(\displaystyle{ 2^{n-2}=2^{9}}\)
Porównuję wykładniki: \(\displaystyle{ n-2=9}\) \(\displaystyle{ n=11}\)
Odp.: Największą liczbą naturalną dla jakiej zachodzi ww. nierówność to n=11.
Zadanie IV
Najpierw obliczam ile jest funkcji.
Pierwszy eleent pierwszego zbiorru mogę przedstawić na 31 różnych sposób, drugi element na 31 sposobów,.......,25 element też na 31 różnych sposobów. Razem: \(\displaystyle{ 31^{25}}\) sposobów.(*)
a)
Najpierw sprawdźy ile będzie funkcji różnowartościowych.
Pierwszy element na 31 różnych sposobów, drugi na 30,....,25 na 7 różnych sposobów. Razem: \(\displaystyle{ 31 \cdot 30 \cdot 29 \cdot .... \cdot 7= \frac{31!}{6!}}\)
Funkcji różnowartościowych o wartościach {1,2,3,....,25} jest tyle co permutacji zbioru 25 elementowego, czyli 25!. Ale tylko jeden jest rosnący tj.1,2,3,4,...25.
Mam zatem: \(\displaystyle{ \frac{\frac{31!}{6!}}{25!}=\frac{31!}{25!\cdot 6!}=\frrac{31 \cdot 30 \cdot 29 \cdot 28 \cdot 27 \cdot 26}{720}=736281}\)
Korzystając z (*):
Szukane prawdopodobieństwo to: \(\displaystyle{ P=\frac{736281}{31^{25}}}\)
Odp.rawdopodobieństwo wylosowania funkcji rosnącej to \(\displaystyle{ P=\frac{736281}{31^{25}}}\).
b)
Aby największą wartościa było 10 trzeba ograniczyć przeciwdziedzinę do zbioru \(\displaystyle{ {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}}\).
Wszystkich funkcji z tym zbiorem wartości jest \(\displaystyle{ 10^{25}}\), ale aby największą wartością była 10 musi od tej suy odjąć te funkcje, w których 10 nie występuje, w tym celu bierzemy zbiór wartości \(\displaystyle{ 1,2,3,4,5,6,7,8,9}\) Takich funkcji jest \(\displaystyle{ 9^{25}}\).
Razem mamy takich funkcji \(\displaystyle{ 10^{25}-9^{25}}\)
Biorąc (*) mamy szukane prawdopodobieństwo: \(\displaystyle{ P=\frac{10^{25}-9^{25}}{31^{25}}}\)
Odp.Prawdopodobieństwo wylosowania funkcji, w ktorych największą wartościa jest 10 jest \(\displaystyle{ P=\frac{10^{25}-9^{25}}{31^{25}}}\).
c)
Zbiorów dwueleentowych ze zbioru 31 elementowego jest dokładnie: \(\displaystyle{ {31 \choose 2}=\frac{31!}{29! \cdot 2!}=465}\)
Na każdy dwuelementowy zbiór przypada \(\displaystyle{ 2^{25}}\) kobinacji.
Ostatecznie funkcji o dwuelementowym zbiorze wartosći jest: \(\displaystyle{ 465 \cdot 2^{25}}\)
Prawdopodobieństwo wylosowania to: \(\displaystyle{ P=\frac{465 \cdot 2^{25}}{31^{25}}}\)
Odp.rawdopodobieństwo wylosowania to: \(\displaystyle{ P=\frac{465 \cdot 2^{25}}{31^{25}}}\)
Zadanie V
Mam dane: \(\displaystyle{ f(x)+4f(\frac{1}{x})=3x}\)
Teraz kładę sobie \(\displaystyle{ x:=\frac{1}{x}}\) i otrzymuję: \(\displaystyle{ f(\frac{1}{x})+4f(x)=\frac{3}{x}}\)
Ostatecznie mam układ: \(\displaystyle{ \begin{cases} f(x)+4f(\frac{1}{x})=3x \\ f(\frac{1}{x})+4f(x)=\frac{3}{x} \end{cases}}\)
Drugie razy -4. \(\displaystyle{ \begin{cases} f(x)+4f(\frac{1}{x})=3x \\ -4f(\frac{1}{x})-16f(x)=\frac{-12}{x} \end{cases}}\)
Dodaję stronami: \(\displaystyle{ -15f(x)=3x+\frac{-12}{x}}\) \(\displaystyle{ f(x)=\frac{4}{5x}-\frac{1}{5}x}\)
Odp.:Szukaną funkcją jest f(x)=frac{4}{5x}-frac{1}{5}x.
A oto moje wszystko. W pierwszy jjest błą, który zaznaczyłem. Dostanę za to chociaż 2p.??
Konkurs matematyka.pl
: 11 lip 2009, o 18:02
autor: kubek1
frej pisze:Oceny mają być do wtorku / środy, nie?
Pisało, że do 14, więc do wtorku
Konkurs matematyka.pl
: 11 lip 2009, o 18:58
autor: taka_jedna
Nie do końca rozumiem czemu dobrym pomysłem miałoby być dodanie kategorii "olimpijczyk". Czy nie byłoby lepiej uśmiechnąć się do organizator(a/ów) tego konkursu i ładnie poprosić, by podnieść poziom we wszystkich kategoriach?