Matematyka.pl

1.Znajdz wszystkie liczby naturalne n, dla których dwa spośród poniższych są prawdziwe i jedno fałszywe.
a) n+52 jest kwadratem liczby naturalnej.
b) Ostatnią cyfrą liczby n jest 1.
c) n -38 jest kwadratem liczby naturalnej.

2. Mieszkańcy miasta A mówią tylko prawdę, mieszkańcy miasta B - tylko kłamią, a mieszkańcy miasta C na przemian - mówią prawdę i kłami. Dyżurny straży pożarnej odebrał telefon: "U nas jest pożar, przyjeżdżajcie szybko!". "Gdzie?" - spytał. "W mieście C" - usłyszał. Do którego z miast wyjechał wóz straży pożarnej gasic pożar ?

Dziękuję.

2.Oczywiście nie dzwonił mieszkaniec miasta A.
Załóżmy, że dzwonił mieszkaniec miasta C. W takim razie drugie z danie ("W mieście C") była prawqdziwa. tak więc kłamstwem musiało być zdanie: "U nas jest pożar(...)" Tak więc nie ma pożaru w mieście C.
Gdyby natomiast dzwonił mieszkaniec miasta B, to oba zdania byłyby kłamstwami. Tak więc pożar nie mógłby być w mieście B("u nas", ani w mieście C. Czyli mógłby być w mieście A.
Wóz staraży pożarnej powinien pojechać do miasta A.

1.
rozważam:

\(\displaystyle{ a \wedge b \wedge \sim c}\)

\(\displaystyle{ ...1+52=n ^{2}}\) czyli:
\(\displaystyle{ ...3=n ^{2}}\) nie ma liczby naturalnej spełniającej ten warunek

rozważam:

\(\displaystyle{ \sim a \wedge b \wedge c}\)

\(\displaystyle{ ...1-38=n ^{2}}\) czyli:
\(\displaystyle{ ...3=n ^{2}}\) nie ma liczby naturalnej spełniającej ten warunek

rozważam:

\(\displaystyle{ a \wedge \sim b \wedge c}\)

najwyższa liczba która może spełniać warunek to:

\(\displaystyle{ n ^{2} +90=(n+1) ^{2}}\)
\(\displaystyle{ n=44,5}\)
\(\displaystyle{ n<44,5}\)

załóżmy, że istnieją dwie liczby naturalne mniejsze od 44,5 spełniające warunek:

\(\displaystyle{ p ^{2} =q ^{2} +90}\)

Nie wiem jak to rozwiązać samymi działaniami bez podstawiania, ale można też podstawiać kolejne liczby naturalne aż do 44. W ten sposób:

\(\displaystyle{ q=1, p= \sqrt{1+90} = \sqrt{91}}\)
\(\displaystyle{ q=2, p= \sqrt{2 ^{2} +90} = \sqrt{94}}\)
itp.

Rozwiązanie może jest troche amatorskie, ale powinno wystarczyć. Nie wiem też, czy nie popełniłem żadnych błędów, ale chyba nie. Byłbym wdzięczny za rozwiązanie bez podstawiania.

arekg pisze: załóżmy, że istnieją dwie liczby naturalne mniejsze od 44,5 spełniające warunek:

\(\displaystyle{ p ^{2} =q ^{2} +90}\)

Nie wiem jak to rozwiązać samymi działaniami bez podstawiania, ale można też podstawiać kolejne liczby naturalne aż do 44. W ten sposób:

\(\displaystyle{ q=1, p= \sqrt{1+90} = \sqrt{91}}\)
\(\displaystyle{ q=2, p= \sqrt{2 ^{2} +90} = \sqrt{94}}\)
itp.

\(\displaystyle{ p^2-q^2=90}\)
\(\displaystyle{ (p-q)(p+q)=90}\)
i teraz trzeba rozważać dzielniki 90