układ równań
: 11 cze 2009, o 22:39
\(\displaystyle{ \begin{cases} x'=-x+y \\ y'=3x+y \end{cases}\\
x(0)=2\\
y(0)=2}\)
proszę o pomoc
x(0)=2\\
y(0)=2}\)
proszę o pomoc
\(\displaystyle{ \begin{pmatrix} x\!\!\!\!' \\ y\!\!\!\!' \end{pmatrix} = \underbrace{ \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}}_{A} \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}}\)
Wartości własne macierzy \(\displaystyle{ A}\) to: \(\displaystyle{ \lambda_1 = -2, \; \lambda_2 = 2}\). Odpowiadające im wektory własne: \(\displaystyle{ \vec{v}_1 = s (-1, 1), \; \vec{v}_2 = s (1,3)}\).Rozwiązaniem ogólnym jest:
\(\displaystyle{ \begin{pmatrix}x \\ y \end{pmatrix} = C_1 \begin{pmatrix}-1 \\ 1 \end{pmatrix} e^{-2t} + C_2 \begin{pmatrix}1 \\ 3\end{pmatrix} e^{2t}}\)
Pozostaje jedynie wyznaczyć stałe z warunków brzegowych.