układ równań

[kujdak]

\(\displaystyle{ \begin{cases} x'=-x+y \\ y'=3x+y \end{cases}\\
x(0)=2\\
y(0)=2}\)

proszę o pomoc

[luka52]

W zapisie macierzowym układ ma postać:

\(\displaystyle{ \begin{pmatrix} x\!\!\!\!' \\ y\!\!\!\!' \end{pmatrix} = \underbrace{ \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}}_{A} \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}}\)

Wartości własne macierzy \(\displaystyle{ A}\) to: \(\displaystyle{ \lambda_1 = -2, \; \lambda_2 = 2}\). Odpowiadające im wektory własne: \(\displaystyle{ \vec{v}_1 = s (-1, 1), \; \vec{v}_2 = s (1,3)}\).

Rozwiązaniem ogólnym jest:

\(\displaystyle{ \begin{pmatrix}x \\ y \end{pmatrix} = C_1 \begin{pmatrix}-1 \\ 1 \end{pmatrix} e^{-2t} + C_2 \begin{pmatrix}1 \\ 3\end{pmatrix} e^{2t}}\)

Pozostaje jedynie wyznaczyć stałe z warunków brzegowych.

[Lukasz_C747]

\(\displaystyle{ x' = -x+y \Rightarrow x'+x = y \Rightarrow x''+x' = y'\\
y' = 3x+y \Rightarrow x''+x' = 3x+x'+x\\
x''-4x = 0\\
r^2-4 = 0\\
(r-2)(r+2) = 0\\
r = 2 \vee r = -2\\
x = A*e^{2t}+B*e^{-2t}\\
y = x'+x = 2A*e^{2t}-2B*e^{-2t}+A*e^{2t}+B*e^{-2t} = 3A*e^{2t}-B*e^{-2t}\\
2 = x(0) = A+B \Rightarrow B = 2-A\\
2 = y(0) = 3A-B = 3A-2+A = 4A-2 \Rightarrow A=1 \Rightarrow B = 1\\
y(t) = 3*e^{2t}-e^{-2t}\\
x(t) = e^{2t}+e^{-2t}}\)