Matematyka.pl

Witam mam parę zadań do rozwiązania, ale nie mam pojęcia jak się do tego zabrac. Chodzi o rozwiązywanie równań kwadratowych w Zn. Jakby mógł mi to ktoś wytłumaczyc na takim przykładzie to byłbym wdzięczny:

\(\displaystyle{ x^2+4x+3}\) w ciele Z5 i Z13, oraz w pierścieniu Z12

Jeśli chodzi o liczenie w ciele, to chyba jest jakiś prosty sposób, ale z tym pierścieniem wogóle nie czaję.
Wybaczcie niewysoki poziom intelektualny tego posta, ale mam z tego niezłe tyły dlatego proszę o pomoc. PZDR

Rozwiążmy nasze równanie
\(\displaystyle{ x^2+4x+3=0}\) w zbiorze liczb całkowitych \(\displaystyle{ \mathbb{Z}}\)
Otrzymujemy
\(\displaystyle{ x_0=-1\quad \vee \quad x_1=-3}\)
I teraz w zależności od rozpatrywanego ciała czy też pierścienia, zapisać nasze rozwiązania za pomocą elementów należących odpowiednio do zbiorów \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_{5},\mathbb{Z}_{13}, \mathbb{Z}_{12}}\)
I tak odpowiednio dla \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_{5}}\)
\(\displaystyle{ x_0=4 \quad \vee \quad x_1=2}\)
Dla \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_{13}}\)
\(\displaystyle{ x_0=12\quad \vee \quad x_1=10}\)
itd..

W pierścieniu niecałkowitym \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_{12}}\) sytuacja jest nieco inna, bo z równości:
\(\displaystyle{ (x + 1)(x + 3) = 0}\)
nie wynika, że:
\(\displaystyle{ x +1 = 0}\) lub \(\displaystyle{ x + 3=0}\)
Ale nie jest to duże utrudnienie, bo na palcach można wyliczyć wszystkie pary elementów \(\displaystyle{ a,b\in \mathbb{Z}_{12}}\) takie, że \(\displaystyle{ ab = 0.}\)
Następnie rozwiązania naszego równania wyznaczamy z układów postaci:
\(\displaystyle{ \begin{cases}x + 1 = a\\
x + 3 = b\end{cases}}\)
gdzie \(\displaystyle{ ab = 0.}\)

Dzięki Wam bardzo, trochę zaczynam jużto łapac, jednak nasunęło mi się jeszcze parę pytań odnośnie tego tematu. Mianowicie ten przykład z pierścieniem rozwiązywany był u mnie na cwiczeniach w ten sposób:
\(\displaystyle{ x^2+4x+3=0\\x^2+4x+4=1\\(x+2)^2=1\\x+2=\sqrt{1}\\ \sqrt{1}=\{1,-1,5,-5\}\\x=11\\x=9\\x=3\\x=5}\)

Czyli na początku została wykonana operacja przenoszenia, czegoś na drugą stronę równania. W innym przykładzie jaki próbowałem rozwiązac \(\displaystyle{ (x^2+2x=1)}\) natomiast operacja przenoszeni jedynki na drugą stronę jest już niedozwolona, bo wychodzi inny wynik. Stąd moje pytanie kiedy, i w jakich przykładach można w ten sposób manipulowac równaniami.

Drugi mój problem polega na tym ,że nie rozumiem za bardzo takiej rzeczy: dlaczego tego równania z pierścieniem nie mogę rozwiązac w taki sposób:

\(\displaystyle{ x^2+4x+3=0\\ \Delta=4\\ \sqrt{4}=\{2,4,8,10\}\;(w \;Z_{12})}\)
i teraz normalnie liczyc jak w liczbach całkowitych, tzn:
\(\displaystyle{ x_1={{-2-2}\over{2}}=-2=10}\) itd ??

Acha i jeszcze jedno: czym właściwie, tak z def różni się rozwiązywanie tych równań w ciele i w pierścieniu?? I tyle już nic więcej nie pytam...pzdr

Jeżeli mówimy o ciałach, wówczas w tej strukturze algebraicznej nie wystepują dzielniki zera...
w pierścieniach jak najbardziej mogą występować dzielniki zera...

Dodawać do obu stron równania ten sam element, czy też mnożyć obie strony przez ten sam niezerowy element otrzymując równanie równoważne można zawsze.
Wzory z 'deltą' na rozwiązania równania kwadratowego są prawidłowe w \(\displaystyle{ \mathbb{R},}\) czy też \(\displaystyle{ \mathbb{C}}\) ale stąd wcale nie ma gwarancji, że są prawdziwe nad dowolnym pierścieniem. Np w \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_{12}}\) dzielenie przez \(\displaystyle{ 2}\) nie jest określone, bo element ten nie jest odwracalny.

Np w \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_{12}}\) dzielenie przez 2 nie jest określone, bo element ten nie jest odwracalny.

Czyli ,jeśli liczę z delty, i pojawia się dzielenie, to mogę dokonac tej operacji, tylko gdy dzielnik jest el. odwracalnym, dobrze zrozumiałem??

I jeszcze jedno i ostatnie pytanie, mianowicie mam dwa równania w ciele z11:

\(\displaystyle{ 1)x^2+10x+10\\2)x^2+x+10}\)

i moje pytanie brzmi, dlaczego w pierwszym z nich licząc z delty, wychodzi zły wynik (właściwie to nic nie wychodzi), a w drugim mogę??

Dzielić przez coś można tylko jeśli dzielenie jest określone, więc tak, bo dzielenie określa się jako mnożenie przez element odwrotny.
A co do wzoru z deltą, to należałoby uzasadnić jego poprawność, bo z tego że działa on dla liczb rzeczywistych nie wynika bezpośrednio, że działa on dla innych pierścieni.

Dzięki Wam wszystkim bardzo za pomoc, wszystko już kumam. Pozdrawiam

Sorki, że odświeżam, ale chciałem robić tak jak napisał max:
i mam tak skoro \(\displaystyle{ ab=0 \quad Z_{12}}\) to \(\displaystyle{ ab=12}\) dalej mamy takie pary liczb:

\(\displaystyle{ \begin{array}{cccc}
a&b&=&12 \\
3&4&x=2&x=1\\
4&3&x=3&x=0\\
2&6&x=1&x=3\\
6&2&x=5&x=-1=11\\
1&12&x=0&x=9\\
12&1&x=11&x=-2=10\\
\end{array}}\)

Czyli wychodzi mi, że \(\displaystyle{ x = 0 \cup 1\cup 2 \cup 3\cup 5\cup 9\cup 10\cup 11}\)

Teraz dlaczego prawidłowe są tylko \(\displaystyle{ 3,5,9,11}\) ?