równania kwadratowe w pierścieniach i ciałach

[pumbosza]

Witam mam parę zadań do rozwiązania, ale nie mam pojęcia jak się do tego zabrac. Chodzi o rozwiązywanie równań kwadratowych w Zn. Jakby mógł mi to ktoś wytłumaczyc na takim przykładzie to byłbym wdzięczny:

\(\displaystyle{ x^2+4x+3}\) w ciele Z5 i Z13, oraz w pierścieniu Z12

Jeśli chodzi o liczenie w ciele, to chyba jest jakiś prosty sposób, ale z tym pierścieniem wogóle nie czaję.
Wybaczcie niewysoki poziom intelektualny tego posta, ale mam z tego niezłe tyły dlatego proszę o pomoc. PZDR

[kuch2r]

Rozwiążmy nasze równanie
\(\displaystyle{ x^2+4x+3=0}\) w zbiorze liczb całkowitych \(\displaystyle{ \mathbb{Z}}\)
Otrzymujemy
\(\displaystyle{ x_0=-1\quad \vee \quad x_1=-3}\)
I teraz w zależności od rozpatrywanego ciała czy też pierścienia, zapisać nasze rozwiązania za pomocą elementów należących odpowiednio do zbiorów \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_{5},\mathbb{Z}_{13}, \mathbb{Z}_{12}}\)
I tak odpowiednio dla \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_{5}}\)
\(\displaystyle{ x_0=4 \quad \vee \quad x_1=2}\)
Dla \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_{13}}\)
\(\displaystyle{ x_0=12\quad \vee \quad x_1=10}\)
itd..

[max]

W pierścieniu niecałkowitym \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_{12}}\) sytuacja jest nieco inna, bo z równości:
\(\displaystyle{ (x + 1)(x + 3) = 0}\)
nie wynika, że:
\(\displaystyle{ x +1 = 0}\) lub \(\displaystyle{ x + 3=0}\)
Ale nie jest to duże utrudnienie, bo na palcach można wyliczyć wszystkie pary elementów \(\displaystyle{ a,b\in \mathbb{Z}_{12}}\) takie, że \(\displaystyle{ ab = 0.}\)
Następnie rozwiązania naszego równania wyznaczamy z układów postaci:
\(\displaystyle{ \begin{cases}x + 1 = a\\
x + 3 = b\end{cases}}\)
gdzie \(\displaystyle{ ab = 0.}\)

[pumbosza]

Dzięki Wam bardzo, trochę zaczynam jużto łapac, jednak nasunęło mi się jeszcze parę pytań odnośnie tego tematu. Mianowicie ten przykład z pierścieniem rozwiązywany był u mnie na cwiczeniach w ten sposób:
\(\displaystyle{ x^2+4x+3=0\\x^2+4x+4=1\\(x+2)^2=1\\x+2=\sqrt{1}\\ \sqrt{1}=\{1,-1,5,-5\}\\x=11\\x=9\\x=3\\x=5}\)

Czyli na początku została wykonana operacja przenoszenia, czegoś na drugą stronę równania. W innym przykładzie jaki próbowałem rozwiązac \(\displaystyle{ (x^2+2x=1)}\) natomiast operacja przenoszeni jedynki na drugą stronę jest już niedozwolona, bo wychodzi inny wynik. Stąd moje pytanie kiedy, i w jakich przykładach można w ten sposób manipulowac równaniami.

Drugi mój problem polega na tym ,że nie rozumiem za bardzo takiej rzeczy: dlaczego tego równania z pierścieniem nie mogę rozwiązac w taki sposób:

\(\displaystyle{ x^2+4x+3=0\\ \Delta=4\\ \sqrt{4}=\{2,4,8,10\}\;(w \;Z_{12})}\)
i teraz normalnie liczyc jak w liczbach całkowitych, tzn:
\(\displaystyle{ x_1={{-2-2}\over{2}}=-2=10}\) itd ??

Acha i jeszcze jedno: czym właściwie, tak z def różni się rozwiązywanie tych równań w ciele i w pierścieniu?? I tyle już nic więcej nie pytam...pzdr

[kuch2r]

Jeżeli mówimy o ciałach, wówczas w tej strukturze algebraicznej nie wystepują dzielniki zera...
w pierścieniach jak najbardziej mogą występować dzielniki zera...

[max]

Dodawać do obu stron równania ten sam element, czy też mnożyć obie strony przez ten sam niezerowy element otrzymując równanie równoważne można zawsze.
Wzory z 'deltą' na rozwiązania równania kwadratowego są prawidłowe w \(\displaystyle{ \mathbb{R},}\) czy też \(\displaystyle{ \mathbb{C}}\) ale stąd wcale nie ma gwarancji, że są prawdziwe nad dowolnym pierścieniem. Np w \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_{12}}\) dzielenie przez \(\displaystyle{ 2}\) nie jest określone, bo element ten nie jest odwracalny.

[pumbosza]

Np w \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_{12}}\) dzielenie przez 2 nie jest określone, bo element ten nie jest odwracalny.

Czyli ,jeśli liczę z delty, i pojawia się dzielenie, to mogę dokonac tej operacji, tylko gdy dzielnik jest el. odwracalnym, dobrze zrozumiałem??

I jeszcze jedno i ostatnie pytanie, mianowicie mam dwa równania w ciele z11:

\(\displaystyle{ 1)x^2+10x+10\\2)x^2+x+10}\)

i moje pytanie brzmi, dlaczego w pierwszym z nich licząc z delty, wychodzi zły wynik (właściwie to nic nie wychodzi), a w drugim mogę??

[max]

Dzielić przez coś można tylko jeśli dzielenie jest określone, więc tak, bo dzielenie określa się jako mnożenie przez element odwrotny.
A co do wzoru z deltą, to należałoby uzasadnić jego poprawność, bo z tego że działa on dla liczb rzeczywistych nie wynika bezpośrednio, że działa on dla innych pierścieni.

[pumbosza]

Dzięki Wam wszystkim bardzo za pomoc, wszystko już kumam. Pozdrawiam

[Anthil]

Sorki, że odświeżam, ale chciałem robić tak jak napisał max:
i mam tak skoro \(\displaystyle{ ab=0 \quad Z_{12}}\) to \(\displaystyle{ ab=12}\) dalej mamy takie pary liczb:

\(\displaystyle{ \begin{array}{cccc}
a&b&=&12 \\
3&4&x=2&x=1\\
4&3&x=3&x=0\\
2&6&x=1&x=3\\
6&2&x=5&x=-1=11\\
1&12&x=0&x=9\\
12&1&x=11&x=-2=10\\
\end{array}}\)

Czyli wychodzi mi, że \(\displaystyle{ x = 0 \cup 1\cup 2 \cup 3\cup 5\cup 9\cup 10\cup 11}\)

Teraz dlaczego prawidłowe są tylko \(\displaystyle{ 3,5,9,11}\) ?