Matematyka.pl

Mam pytanie: Czy liczb kardynalnych jest przeliczalnie wiele? i czy mógłbym poprosić o uzasadnienie?

Zbiór nieskończony to zbiór, który jest równoliczny z pewnym swoim właściwym podzbiorem. Liczbę kardynalną nazywamy nieskończoną, gdy jest mocą pewnego zbioru nieskończonego. Zbiór skończony, to zbiór, który nie jest nieskończony. Moc zbioru skończonego wyraża się zawsze pewną liczbą naturalną.

Mam nadzieje ze o to Ci chodzilo

Dziękuję za odpowiedź, ale niestety nie o to
Mam pytanie takie:
są różne liczby kardynalne: 1, 44, alef 0 itp..., prawda? I czy tych liczb jest przeliczalnie wiele? Czy da się je ponumerować?

Nie istnieje zbiór wszystkich liczb kardynalnych.
Gdyby istaniał taki zbiór Z, to |Z| musiałaby być w nim największą liczbą kardynalną, ale |P(Z)| > |Z| na mocy twierdzenia Cantora, więc sprzeczność. Z tego samego powodu nie istnieje zbiór wszystkich zbiorów, więc nie można mówić o przeliczalności tego zbioru

Jak to? Dlaczego |Z| musiałby być największą liczbą kardynalną?

Z definicji liczby kardynalnej - każdej liczbie kardynalnej odpowiada zbiór, zatem liczbie większej od |Z| też by musiał odpowiadać jakiś zbiór, ale on i wszystkie jego podzbiory byłyby okreslone liczbami kardynalnymi z Z, więc Z zawiera co najmniej tyle elementów co ten zbiór (bo wszystkich pozbiorów tego zbioru jest więcej niż jego elementów)

ale on i wszystkie jego podzbiory byłyby okreslone liczbami kardynalnymi z Z, więc Z zawiera co najmniej tyle elementów co ten zbiór (bo wszystkich pozbiorów tego zbioru jest więcej niż jego elementów)

Ta implikacja jest nieprawdziwa - przecież różnym podzbiorom pewnego zbioru może odpowiadać ta sama liczba kardynalna, a co za tym idzie, może być więcej elementów w zbiorze niż liczb kardynalnych odpowiadających jego podzbiorom.

Inaczej tłumacząc:
Każda liczba kardynalna wyznacza rodzinę zbiorów równolicznych. Zatem zbiór wszystkich liczb kardynalnych Z można potraktować jako rodzinę rodziny zbiorów wyznaczanych przez wszystkie liczby kardynalne - zatem zbió wszystkich zbiorów, a ten nie istnieje, więc ze sprzeczności nie istnieje zbiór wszystkich liczb kardynalnych.

Uprzedzając pytania:
Jeśli istniałby zbiór Ź wszystkich zbiorów to zawierałby |Ź| elementów, ale każdy z jego podzbiorów musiałby być w nim zawarty a P(Ź) ma więcej elementów niż Ź. Sprzeczność, więc nie istnieje zbiór wszystkich zbiorów.

Swoją drogą Cantor myślał, że taki zbiór istnieje i nie za bardzo mu to przeszkadzało, dopóki matematycy nie zebrali się, żeby ustalić aksjomaty teorii mnogości

Liczba kardynalna nie jest rodziną zbiorów, to po prostu liczba.

Nie napisałem, że liczba kardynalna jest rodziną zbiorów, tylko, że wyznacza rodzinę zbiorów

soliter pisze:Liczba kardynalna nie jest rodziną zbiorów, to po prostu liczba.

Każda liczba kardynalna, oprócz 0, jest rodziną zbiorów. Np.: 5={0,1,2,3,4}, a każda z mniejszych liczb jest zbiorem (konstrukcja von Neumanna)

Dlaczego zbiór wszystkich liczb kardynalnych nie istnieje?

na moje oko, ale glowy nie dam, jest to sprzeczne z aksjomatem regularnosci. liczba kardynalna jest pewnym typem relacyjnym na klasie wszystkich zbiorow. niech \(\displaystyle{ f}\) bedzie przyporzadkowaniem, ktore elementom \(\displaystyle{ \alpha}\) rzekomego zbioru \(\displaystyle{ K}\) wszystkich liczb kardynalnych przyporzadkowuje pewien zbior \(\displaystyle{ X : |X| = }\). na mocy aksjomatu zastepowania \(\displaystyle{ f(K)}\) jest zbiorem. naturalnie \(\displaystyle{ |f(K)| K}\). zatem \(\displaystyle{ f(K) \ni f(|f(K)|) = f(K)}\) - sprzecznosc.

soliter pisze:Liczba kardynalna nie jest rodziną zbiorów, to po prostu liczba.

A co to jest 'po prostu liczba'?

g pisze:na moje oko, ale glowy nie dam, jest to sprzeczne z aksjomatem regularnosci. liczba kardynalna jest pewnym typem relacyjnym na klasie wszystkich zbiorow. niech \(\displaystyle{ f}\) bedzie przyporzadkowaniem, ktore elementom \(\displaystyle{ \alpha}\) rzekomego zbioru \(\displaystyle{ K}\) wszystkich liczb kardynalnych przyporzadkowuje pewien zbior \(\displaystyle{ X : |X| = \alpha}\). na mocy aksjomatu zastepowania \(\displaystyle{ f(K)}\) jest zbiorem. naturalnie \(\displaystyle{ |f(K)| \in K}\). zatem \(\displaystyle{ f(K) \ni f(|f(K)|) = f(K)}\) - sprzecznosc.

A dlaczego niby musi być \(\displaystyle{ f(|f(K)|) = f(K)}\)...?

W każdym razie można to udowodnić prościej. Niech \(\displaystyle{ K}\) będzie rzekomym zbiorem wszystkich liczb kardynalnych (rozumianych jako liczby porządkowe początkowe). Wtedy \(\displaystyle{ \cup K}\) byłoby oczywiście największą liczbą kardynalną. Ale istnienie takiej liczby przeczy tw. Cantora.

A co to jest 'po prostu liczba'?

No właśnie? Jak dla mnie każda liczba jest zbiorem.