Matematyka.pl

Jak udowodnić że pierwiastek np. :z 2 lub 3 jest liczbą niewymierną ?

Zalozyc, ze jest wymierna, czyli jest w postaci ulamka nieskaracalnego \(\displaystyle{ \frac{p}{q}}\) - \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ q}\) sa naturalne, podniesc stronami do kwadratu, pomnozyc przez \(\displaystyle{ q^2}\) i popatrzec na obie strony rownania, przyklad dla \(\displaystyle{ \sqrt{3}}\):
\(\displaystyle{ 3q^2 = p^2}\)
lewa strona dzieli sie przez trzy i ma byc kwadratem \(\displaystyle{ p \rightarrow p}\) dzieli sie przez \(\displaystyle{ 3}\)
\(\displaystyle{ p}\) dzieli sie przez \(\displaystyle{ 3}\), czyli \(\displaystyle{ p = 3k}\)
wtedy
\(\displaystyle{ 3q^2 = 9k^2 |:3\\
q^2 = 3k^2}\)
analogiczne rozumowanie jak poprzednio prowadzi do wniosku, ze \(\displaystyle{ q}\) dzieli sie przez \(\displaystyle{ 3}\):
\(\displaystyle{ q = 3n}\)

Wtedy \(\displaystyle{ \frac{p}{q} = \frac{3 \cdot k}{3 \cdot n} = \frac{k}{n} \rightarrow}\) sprzecznosc z zalozeniem, ze ulamek \(\displaystyle{ \frac{p}{q}}\) jest nieskracalny. Czyli zalozenie, ze \(\displaystyle{ \sqrt{3}}\) jest wymierne prowadzi do sprzecznosci, stad \(\displaystyle{ \sqrt{3}}\) jest niewymierne...

wkradl sie blad w przeksztalceniu
zamiast
\(\displaystyle{ 3p^2 = q^2}\)
powinno byc
\(\displaystyle{ 3q^2=p^2}\)

zalozenie o \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ q}\) ze sa naturalne jest chyba zbyt mocne - wystarczy zeby byly calkowite

a teraz podeje dowod na niewymiernosc pierwiastka, ktory mi sie podoba:

zakladamy, ze \(\displaystyle{ \sqrt{3}}\) jest liczba wymierna czyli mozna przedstawic w postaci ilorazu dwoch liczb calkowitych

\(\displaystyle{ \sqrt{3}=\frac{p}{q}}\), gdzie \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ q}\) sa calkowite i \(\displaystyle{ q\neq 0}\)

po podniesieniu stronami do kwadratu i pomnozeniu przez \(\displaystyle{ q^2}\) otrzymujemy

\(\displaystyle{ 3 \cdot q \cdot q=p \cdot p}\)

w iloczynie \(\displaystyle{ 3 \cdot q \cdot q}\) wystepuje nieparzysta liczba \(\displaystyle{ 3}\) w rozkladzie na czynniki pierwsze, bo w iloczynie \(\displaystyle{ q \cdot q}\) liczba \(\displaystyle{ 3}\) wystepuje parzysta ilosc razy lub nie wystepuje wcale

w iloczynie \(\displaystyle{ p \cdot p}\) liczba \(\displaystyle{ 3}\) wystepuje parzysta ilosc razy lub wcale

zatem ilosc \(\displaystyle{ 3}\) przy rozkladzie na czynniki pierwsze po lewej stronie rownosci nie zgadza sie z iloscia \(\displaystyle{ 3}\) po prawej stronie rownosci

czyli mozna powiedziec ze rownosc jest sprzeczna

zatem \(\displaystyle{ \sqrt{3}}\) nie da sie przedstawic w postaci ilorazu dwoch liczb calkowitych

\(\displaystyle{ \sqrt{3}}\) nie jest liczba wymierna, wiec jest liczba niewymierna

cnd

Dzieki za zwrocenie uwagi, oczywiscie powinno byc "calkowite" tak jest scislej. Blad z \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ q}\) poprawilam.
Podoba mi sie Twoj dowod, chyba latwiejszy do zrozumienia.

Polaczylam tez Twoje posty, zamiast pisac dwa posty pod rzad, lepiej jest ten pierwszy edytowac (okienko "zmien" nad trescia postu z prawej strony).

mozna troche krocej np dla \(\displaystyle{ \sqrt{3}}\):
\(\displaystyle{ \sqrt{3}=x |^2\\
3=x^2}\)
\(\displaystyle{ x^2-3=0 \leftarrow}\) jest twierdzenie: jezeli wielomian o wspolczynnikach calkowitych ma pierwiastki wymierne to sa one postaci \(\displaystyle{ \frac{p}{q}}\), gdzie \(\displaystyle{ p}\) to podzielnik wyrazu wolnego, a \(\displaystyle{ q}\) podzielnik wyrazu przy najwyzszej potedze, w tym przypadku \(\displaystyle{ \frac{p}{q} \in\{-3,-1,1,3\}}\), czyli nie ma tu \(\displaystyle{ \sqrt{3}}\), wiec jest to liczba niewymierna, tak samo mozesz robic z innymi wyrazeniami, np. sprawdz sobie czy \(\displaystyle{ \sqrt{2}-\sqrt{3}+\sqrt{5}}\) jest wymierne (udowodnij znaczy), po odpowiednich przeksztalceniach dojdziesz do wielomianu jakiegos:P

to ja mam jeszcze taki może głupi i bezsensowny przykład, ale mnie irytuje nieco...

no bo postepując analogicznie do rozwiazania Yavien, chcialem przeanalizowac przykład dla \(\displaystyle{ \sqrt{4}}\). wszyscy oczywiscie wiedza ze jest to \(\displaystyle{ 2}\), a to jest liczba wymierna, no ale sprobojmy:

Zakladamy, ze liczbe mozna zapisac w postaci ulamka nieskaracalnego \(\displaystyle{ \frac{p}{q}}\) - \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ q}\) sa naturalne, podniesc stronami do kwadratu, pomnozyc przez \(\displaystyle{ q^2}\) i popatrzec na obie strony rownania, przyklad dla \(\displaystyle{ \sqrt{4}}\):
\(\displaystyle{ 4q^2 = p^2}\)
lewa strona dzieli sie przez cztery i ma byc kwadratem \(\displaystyle{ p \rightarrow p}\) dzieli sie przez \(\displaystyle{ 4}\)
\(\displaystyle{ p}\) dzieli sie przez \(\displaystyle{ 4}\), czyli \(\displaystyle{ p = 4k}\)
wtedy
\(\displaystyle{ 4q^2 = 16k^2 |:4 \\
q^2 = 4k^2}\)
analogiczne rozumowanie jak poprzednio prowadzi do wniosku, ze \(\displaystyle{ q}\) dzieli sie przez \(\displaystyle{ 4}\):
\(\displaystyle{ q = 4n}\)

Wtedy \(\displaystyle{ \frac{p}{q} = \frac{4 \cdot k}{4 \cdot n} = \frac{k}{n} \rightarrow}\) no i tu wychodzi ze niby to jest sprzeczność...... no ale to powinna byc prawda. To gdzie jest blad w rozumowaniu?? coś przegapilem? pewnie tak, tylko gdzie. :/ Gdzyby mogl to ktos wyjasnić, z pewnoscią pomogloby mi to zrozumieć problem udowadniania liczb niewymiernych.

https://matematyka.pl/viewtopic.php?p=89 ... ght=#89339

mucha87 pisze:lewa strona dzieli sie przez cztery i ma byc kwadratem p --> p dzieli sie przez 4

To akurat prawdą nie jest.

Adams pisze:

mucha87 pisze:lewa strona dzieli sie przez cztery i ma byc kwadratem p --> p dzieli sie przez 4

To akurat prawdą nie jest.

Prawdą jest na pewno, ze lewa strona dzieli sie przez \(\displaystyle{ 4}\) (no bo jest: \(\displaystyle{ 4q^2}\)) i ma być kwadratem \(\displaystyle{ p}\) (bo \(\displaystyle{ L=p^2}\)).
Czyli wychodzi na to, że \(\displaystyle{ p}\) nie moze dzielić sie przez \(\displaystyle{ 4}\)? To dlaczego w przypadku pierwiastka z \(\displaystyle{ 3}\) tamto \(\displaystyle{ p}\) moglo dzielic sie przez \(\displaystyle{ 3}\)? :/

Czy ktoś potrafilby to rozwiązać?

mucha87 pisze:Czyli wychodzi na to, że \(\displaystyle{ p}\) nie moze dzielić sie przez \(\displaystyle{ 4}\)

Nie, z tej implikacji, którą napisałeś wychodzi, że \(\displaystyle{ p}\) jest podzielne przez \(\displaystyle{ 2}\) (a przez \(\displaystyle{ 4}\) nie musi się dzielić)

mucha87 pisze:To dlaczego w przypadku pierwiastka z \(\displaystyle{ 3}\) tamto \(\displaystyle{ p}\) moglo dzielic sie przez \(\displaystyle{ 3}\)? :/

\(\displaystyle{ 3}\) nie jest całkowitą wielokrotnością kwadratu liczby naturalnej \(\displaystyle{ \ge 2}\)

Witam wszystkich matematyków Milo mi

Oczywiscie mam problem, wiec tu pisze

Potrzebuje jeszcze bardziej łopatologicznego wyjasnienia dowodu na to ze pierw. z 3 nie jest liczba wymierna. No niestety.... nie kazdy ma te umiejetnosc od razu kumania zadan matematycznych. Zazdroszcze matematykom.

Moze to pytanie coś da: Skad tam sie bierze nakle "k" w tym dowodzie? Co to jest? Moze o czyms nie pamietam... nie wiem. W koncu zdalem te matme na maturze.

Zakładamy, że pierwiastek z 3 jest liczbą wymierną, więc można go przedstawić jako iloraz dwóch liczb całkowitych, względnie pierwszych,(nie mają, żadnego wspólnego dzilenika, prócz 1) niech te liczby będą: \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ q}\)
więc:
\(\displaystyle{ \frac{p}{q}= \sqrt{3} \ \ \ \ | ^{2}}\)
\(\displaystyle{ \frac{p ^{2} }{q ^{2} } = 3}\)
\(\displaystyle{ 3q^{2} = p ^{2}}\)
z tego widzimy, że \(\displaystyle{ 3|p ^{2}}\)
więc \(\displaystyle{ p}\) możemy przedstawić w takiej postaci: \(\displaystyle{ p= 3k}\)
\(\displaystyle{ p^{2} = ft(3k \right) ^{2} = 9k ^{2}}\)
\(\displaystyle{ 3q^{2} = 9k^{2}}\)
teraz widzimy, że \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ q}\) mają wspólny dzielnik: \(\displaystyle{ 3}\) więc jest to sprzeczne z założeniem (o tym, że \(\displaystyle{ q}\) i \(\displaystyle{ p}\) są względnie pierwsze, czyli \(\displaystyle{ \sqrt{3}}\) jest liczbą niewymierną.

W takim razie jak udowodnić \(\displaystyle{ \sqrt{16}}\) bo dochodząc do\(\displaystyle{ 16 q^{2}=p ^{2}}\) i podstawiając tak samo \(\displaystyle{ p=16k}\) mamy bzdet \(\displaystyle{ 16q ^{2} = 256k ^{2}}\) i nie idzie. Tak samo w przypadku \(\displaystyle{ \sqrt{4}}\), ktoś mógłby do końca przedstawić taki dowód?

Nie da rady tego udowodnić, bo to nieprawda. Te pierwiastki które podałeś są wymierne, a nawet całkowite.

Właśnie, chodzi to, żeby sprawdzić. Jak mogę "sprawdzić czy jest wymierny?" Jeżeli da się udowodnić tym niewymierność, to wymierność też, tu zakładamy, że jest wymierny. A co jeśli jest wymierny, powinno wyjść inaczej. Jest jakiś sposób na sprawdzenie?