Matematyka.pl

Liczby \(\displaystyle{ x_1}\) i \(\displaystyle{ x_2}\) są różnymi pierwiastkami równania: \(\displaystyle{ x^{2}-3x+A=0}\), a \(\displaystyle{ x_3}\) i \(\displaystyle{ x_4}\) to różne pierwiastki równania : \(\displaystyle{ x^{2}-12x+B=0}\) Wiadomo, że \(\displaystyle{ x_1,x_2,x_3,x_4}\) to ciąg geometryczny. Wyznacz \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\).

Musisz wyliczyć \(\displaystyle{ x_1,x_2}\) w zależności od \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ x_3,x_4}\) od \(\displaystyle{ B}\) wtedy \(\displaystyle{ x_2^2=x_1\cdot x_3 \wedge x_3^2=x_2\cdot x_4}\) i powinno wystarczyć.

ze wzorów wiety: \(\displaystyle{ x_1+x_2=t+tr=3}\) oraz \(\displaystyle{ x_3+x_4=tr^2+tr^3=12}\) i po podzieleniu stronami \(\displaystyle{ r^2=4}\). załóżmy, że r=2 (przypadek r=-2 analogicznie) teraz:
\(\displaystyle{ \begin{cases}
t^2-3t+A=0\\
4t^2-6t+A=0
\end{cases}}\)
i odejmując stronami:
\(\displaystyle{ 3t^2-3t=0}\) skąd t=0 (co odpada) lub t=1, skąd A=2. dla danych t i r z drugiego równania obliczam B.

Przepraszam za odkopywanie - czy wynik to faktycznie \(\displaystyle{ A = 2, B = 32}\) lub \(\displaystyle{ A = -18, B = -972}\)? Tak jest w odpowiedziach, pierwsza para wyszła mi tak samo, ale w drugiej (dla \(\displaystyle{ q = -2}\) i \(\displaystyle{ x_1 = -3}\)) otrzymałem \(\displaystyle{ A = -18}\) i \(\displaystyle{ B = -288}\) i nie wiem czy błąd jest gdzieś u mnie czy w odpowiedziach.

Pokaż rachunki.

JK