Matematyka.pl

1. \(\displaystyle{ 5^{5n-2} +3}\) jest podzielna przez 4
2. \(\displaystyle{ n^3 +17n}\) jest podzielne przez 6

Posta poprawiłem, zapoznaj się z Texem.

2)
1. spr. dla n=1:
\(\displaystyle{ 1+17=18=3 6}\)
2.
zał. ind:\(\displaystyle{ k^3+17k=6s, s N}\)
teza ind: \(\displaystyle{ (k+1)^3+17(k+1)=6s', s' N}\)
d-d:
\(\displaystyle{ L=k^3+3k^2+3k+17k+17=k^2+17k+ 18+3k^2+3k=6s+18+3k(k+1)=6s'=P}\)
3. Na mocy zasady ....

3k(k+1) jest podzielne przez 6, bo albo k, albo k+1 to liczba parzysta, a liczba podzielna przez 2, pomnożona przez 3, na pewno jest podzielna przez 6 . Mamy więc sumę trzech liczb podzielnych przez 6, ( bo 6s jest podzielne przez 6 z założenia), więc cała liczba również podzielna jest przez 6.

1)

Sprawdźmy, czy twierdzenie jest prawdziwe dla \(\displaystyle{ n=1}\).

\(\displaystyle{ 5^{5-2}+3 = 5^3+3=128\equiv 0\pmod 4}\).

Załóżmy, że \(\displaystyle{ 4|5^{5n-2}+3}\).

Mamy

\(\displaystyle{ 5^{5(n+1)-2}+3 = 5^5(5^{5n-2}+3)-9372}\),

z założenia indukcyjnego mamy \(\displaystyle{ 4|5^{5n-2}+3}\) oraz oczywiście \(\displaystyle{ 4|9372}\), co kończy dowód kroku indukcyjnego.

Prosta indukcja:

nobrain^^ pisze:1. 5^(5n-2) +3 jest podzielna przez 4

Dla n=1 mamy prawde, gdyz 5^3+3 = 128 jest podzielne przez 4

Zalozmy teraz, ze dla n twierdzenie jest prawdziwe czyli 4| 5^(5n-2) +3 5^(5n-2)+3 = 4k dla k calkowitego

Udowodnie z zalozenia, ze jest prawdziwe takze dla n+1.
Mamy wiec 5^(5(n+1)-2)+3 = 5^(5n+3)+3 = 5^5*5^(5n-2)+3 = 5^5*(5^(5n-2)+3) - 3*5^5+3 = {na mocy zalozenia} 5^5*4k-3(5^5-1).
Wyrazenue 5^5*4k jest zawsze podzielne przez 4. 5^5-1 jest takze, gdyz 3124 dzieli sie przez 4. Mozna tez pokazac, ze 5^n ma dwie ostatnie cyfry zawsze 25, a jak wiadomo z warunku podzielnosci przez 4, dana liczba dzieli sie przez 4, gdy jej 2 ostatnie cyfry sie dziela przez 4, a dane wyrazenie konczy sie na 24.

Na mocy zasady indukcji i takie tam...

2. n^3 +17n jest podzielne przez 6

Dla n=1 mamy 6|18 co jest oczywiscie prawda.

Zalozmy teraz, ze jest to prawda dla n, czyli istnieje takie k nalezace do calkowitych, ze n^3+17n =6k

Udowodnie, ze zachodzi to dla n+1
Mamy wiec:
(n+1)^3+17(n+1) = n^3+3n^2+3n+1+17n+17= n^3+17n+18+3n^2+3n={mna mocy zalozenia} = 6k+18+3n^2+3n
6k+18 dzieli sie zawsze przez 6. Pozostaje udowodnic, ze 3(n^2+1) takze sie dzieli. Mozna to zrobic jeszcze raz przez indukcje albo zauwazyc, ze wyrazenie w nawiasie bedzie zawsze parzyste (jako suma 2 liczb parzystych lub nieparzystch, zaleznie od n) czyli takze sie dzieli przez n

Na mocy zasady indukcji etc.

Dawno z takimi dowodami nie mialem juz do czynienia wiec byc moze mozna by to zrobic prosciej, ale kocepcja ogolnie chyba nie jest zla...

Sorry, że sie podczepie pod temat, ale nei chce tworzyć kolejnego takiego samego.
Muszę wykazać, że dla każdej liczby naturalnej dodatniej n liczba n� -3n� +2n-3 jest podzielna przez 3. Z gory dzieki za pomoc.

Ponieważ cała otoczka jest w poprzednich postach, przejdę tutaj do clou.
Zał ind: \(\displaystyle{ k^3-3k^2+2k-3=3s, s N}\)
Teza ind: \(\displaystyle{ (k+1)^3-3(k+1)^2+2(k+1)-3=3s', s' N}\)
d-d:
\(\displaystyle{ L=k^3 +3k^2+3k+1 -3(k^2+2k+1)+2k+2-3=k^3+3k^2+5k-3k^2-6k-3=k^3-3k^2+2k-3 +3k^2+3k=3s+3(k^2+k)=3(s+k^2+k)=3s'=P}\)