wykazac podzielnosc..

[nobrain^^]

1. \(\displaystyle{ 5^{5n-2} +3}\) jest podzielna przez 4
2. \(\displaystyle{ n^3 +17n}\) jest podzielne przez 6

[Tristan]

Posta poprawiłem, zapoznaj się z Texem.

2)
1. spr. dla n=1:
\(\displaystyle{ 1+17=18=3 6}\)
2.
zał. ind:\(\displaystyle{ k^3+17k=6s, s N}\)
teza ind: \(\displaystyle{ (k+1)^3+17(k+1)=6s', s' N}\)
d-d:
\(\displaystyle{ L=k^3+3k^2+3k+17k+17=k^2+17k+ 18+3k^2+3k=6s+18+3k(k+1)=6s'=P}\)
3. Na mocy zasady ....

3k(k+1) jest podzielne przez 6, bo albo k, albo k+1 to liczba parzysta, a liczba podzielna przez 2, pomnożona przez 3, na pewno jest podzielna przez 6 . Mamy więc sumę trzech liczb podzielnych przez 6, ( bo 6s jest podzielne przez 6 z założenia), więc cała liczba również podzielna jest przez 6.

[Tomasz Rużycki]

1)

Sprawdźmy, czy twierdzenie jest prawdziwe dla \(\displaystyle{ n=1}\).

\(\displaystyle{ 5^{5-2}+3 = 5^3+3=128\equiv 0\pmod 4}\).

Załóżmy, że \(\displaystyle{ 4|5^{5n-2}+3}\).

Mamy

\(\displaystyle{ 5^{5(n+1)-2}+3 = 5^5(5^{5n-2}+3)-9372}\),

z założenia indukcyjnego mamy \(\displaystyle{ 4|5^{5n-2}+3}\) oraz oczywiście \(\displaystyle{ 4|9372}\), co kończy dowód kroku indukcyjnego.

[Cyber Stefan]

Prosta indukcja:

1. 5^(5n-2) +3 jest podzielna przez 4

Dla n=1 mamy prawde, gdyz 5^3+3 = 128 jest podzielne przez 4

Zalozmy teraz, ze dla n twierdzenie jest prawdziwe czyli 4| 5^(5n-2) +3 5^(5n-2)+3 = 4k dla k calkowitego

Udowodnie z zalozenia, ze jest prawdziwe takze dla n+1.
Mamy wiec 5^(5(n+1)-2)+3 = 5^(5n+3)+3 = 5^5*5^(5n-2)+3 = 5^5*(5^(5n-2)+3) - 3*5^5+3 = {na mocy zalozenia} 5^5*4k-3(5^5-1).
Wyrazenue 5^5*4k jest zawsze podzielne przez 4. 5^5-1 jest takze, gdyz 3124 dzieli sie przez 4. Mozna tez pokazac, ze 5^n ma dwie ostatnie cyfry zawsze 25, a jak wiadomo z warunku podzielnosci przez 4, dana liczba dzieli sie przez 4, gdy jej 2 ostatnie cyfry sie dziela przez 4, a dane wyrazenie konczy sie na 24.

Na mocy zasady indukcji i takie tam...

2. n^3 +17n jest podzielne przez 6

Dla n=1 mamy 6|18 co jest oczywiscie prawda.

Zalozmy teraz, ze jest to prawda dla n, czyli istnieje takie k nalezace do calkowitych, ze n^3+17n =6k

Udowodnie, ze zachodzi to dla n+1
Mamy wiec:
(n+1)^3+17(n+1) = n^3+3n^2+3n+1+17n+17= n^3+17n+18+3n^2+3n={mna mocy zalozenia} = 6k+18+3n^2+3n
6k+18 dzieli sie zawsze przez 6. Pozostaje udowodnic, ze 3(n^2+1) takze sie dzieli. Mozna to zrobic jeszcze raz przez indukcje albo zauwazyc, ze wyrazenie w nawiasie bedzie zawsze parzyste (jako suma 2 liczb parzystych lub nieparzystch, zaleznie od n) czyli takze sie dzieli przez n

Na mocy zasady indukcji etc.

Dawno z takimi dowodami nie mialem juz do czynienia wiec byc moze mozna by to zrobic prosciej, ale kocepcja ogolnie chyba nie jest zla...

[TokaKoka]

Sorry, że sie podczepie pod temat, ale nei chce tworzyć kolejnego takiego samego.
Muszę wykazać, że dla każdej liczby naturalnej dodatniej n liczba n� -3n� +2n-3 jest podzielna przez 3. Z gory dzieki za pomoc.

[Tristan]

Ponieważ cała otoczka jest w poprzednich postach, przejdę tutaj do clou.
Zał ind: \(\displaystyle{ k^3-3k^2+2k-3=3s, s N}\)
Teza ind: \(\displaystyle{ (k+1)^3-3(k+1)^2+2(k+1)-3=3s', s' N}\)
d-d:
\(\displaystyle{ L=k^3 +3k^2+3k+1 -3(k^2+2k+1)+2k+2-3=k^3+3k^2+5k-3k^2-6k-3=k^3-3k^2+2k-3 +3k^2+3k=3s+3(k^2+k)=3(s+k^2+k)=3s'=P}\)