Matematyka.pl

\(\displaystyle{ x=Rcos^{3}t}\) , \(\displaystyle{ y=Rsin^{3}t}\) \(\displaystyle{ R>0}\) , \(\displaystyle{ 0 \le t \le 2 \pi}\)

Mi wychodzi 0 , a w odpowiedziach jest 6R ;/

L=\(\displaystyle{ \int_{0}^{2\pi} \frac{3}{2} R \left| \sin{2x}\right|}\)

Po obliczeniu ze wzoru

\(\displaystyle{ \int_{a}^{b}{ \sqrt{ \left( \partial x\right)^2+ \left( \partial y\right)^2 } }}\)

Musisz rozbić całkę na cztery całki narysować wykres i

w odpowiednich miejscach zmienić znak przed całką

\(\displaystyle{ dx=-3R\cos^2{t}\sin{t}}\)

\(\displaystyle{ dy=3R\sin^2{t}\cos{t}}\)

\(\displaystyle{ dx^2=9R^2\cos^4{t}\sin^2{t}}\)

\(\displaystyle{ dy^2=9R^2\sin^4{t}\cos^2{t}}\)

\(\displaystyle{ dx^2+dy^2=9R^2\cos^4{t}\sin^2{t}+9\sin^4{t}\cos^2{t}}\)

\(\displaystyle{ dx^2+dy^2=9R^2\cos^2{t}\sin^2{t} \left( sin^2{t}+cos^2{t}\right)}\)

\(\displaystyle{ dx^2+dy^2=9R^2\cos^2{t}\sin^2{t}}\)

\(\displaystyle{ dx^2+dy^2= \frac{9}{4}R^2 \sin^2{2t}}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{dx^2+dy^2}= \frac{3}{2}R \left|\sin{2t}\right|}\)

\(\displaystyle{ \int_{0}^{2\pi} {\sqrt{dx^2+dy^2}}= \frac{3}{2}R \left|\sin{2t}\right|}\)

\(\displaystyle{ \int_{0}^{2\pi} {\sqrt{dx^2+dy^2}}= \frac{-3}{4}R \left(cos{2t}|_{0}^{ \frac{\pi}{2} }- cos{2t}|_{ \frac{\pi}{2} }^{\pi} +cos{2t}|_{\pi}^{ \frac{3\pi}{2} }-cos{2t}|_{ \frac{3\pi}{2} }^{ 2\pi }\right)}\)

\(\displaystyle{ \frac{-3}{4}R \left( -1-1- \left( 1- \left( -1\right) \right) -1-1- \left( 1- \left( -1\right) \right) \right)}\)

\(\displaystyle{ \frac{-3}{4}R \left( -2 - 2 - 2 -2 \right)}\)

\(\displaystyle{ \frac{-3}{4}R \left( -8 \right)}\)

\(\displaystyle{ {-3}R \left( -2 \right)}\)

\(\displaystyle{ {6}R}\)

Dlaczego tak rozbiłem ponieważ w funkcji podcałkowej jest moduł

Rysujemy sinusoidę w przedziale

\(\displaystyle{ [0;4\pi]}\)

i jeżeli

\(\displaystyle{ \sin{2t}<0}\)

to zmieniamy znak przed całką

Fakt, zapomniałem o module
Dzięki